Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валландер С.В. -> "Лекции по гидроаэромеханике" -> 79

Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.

Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике — Л.: ЛГУ, 1978. — 296 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipoaerogidromehanike1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 110 >> Следующая


или согласно (4.13)

<4Л9>

211
Компоненты ?„ определяемые формулами (4.12), теперь можно записать в виде

Если рассматриваемое тело имеет плоскость симметрии, то, принимая эту плоскость за одну из координатных плоскостей, например за плоскость (х,у), можно упростить вычисление функций Bi и Т.

Действительно, в этом случае величины а = cos (п, х) и

P = cos [п, у) будут четными функциями, a v — cos (п, z) — нечетной функцией координаты г. При этом согласно формулам

(1.8) для искомых гармонических функций на поверхности обтекаемого тела будем иметь равенства

где А и А' — симметричные относительно плоскости х, у точки поверхности.

Условиям (4.21) будут удовлетворять гармонические функции фь ф2, фб, четные относительно переменной z, а условиям

(4.22)—функции фз, ф4, ф5, нечетные относительно z. Действительно, если функция ф — четная по г, то — нечетная, a

— четные функции относительно z, и, следовательно, =

~lhc ° "fz" ^ — четная функция по z. Аналогично рас-

сматривается случай функции, нечетной по z.

Покажем, что в этом случае коэффициенты Л,,-* = (I = = 1, 2, 6; k = 3, 4, 5) обращаются в нуль. Используя формулы

(4.13) и вводя обозначения 5Н и 5В для симметричных относительно плоскости х, у частей поверхности, можем написать

Вследствие нечетности подынтегральной функции и симметрии частей поверхности 5Н и 5В будем иметь

(4.20)

(4.21)

(4.22)

А<1з = 0.

Совершенно аналогично получим

(4.24)

^1* — 0, k — 4, 5;

Xik = 0, i — 2,6; k = 3, 4, 5.

(4.25)

212
В случае, если поверхность S имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (например, 5 — поверхность эллипсоида), подобным образом можно показать, что все коэффициенты Xik с разными индексами обращаются в нуль.

В качестве примера рассмотрим обтекание сферы радиуса R, движущейся в жидкости со скоростью v под действием некоторой силы F, приложенной в центре шара.

Воспользуемся полученными ранее результатами. Согласно формуле (3.17) гл. XIV потенциал обтекания шара, движущегося с единичной скоростью вдоль оси г, будет

R3 cos 0 ..

Фз =-----2Т5-’ (4'26)

где г, 0, А, — сферические координаты с началом в центре шара и полярной осью, направленной по оси г. Из (4.26) следуют равенства

^L=^L=cose- Фз1г=Л=—f-cose- (4-2?)

Подставив (4.27) в (4.13), найдем

Лзз== — Р dS = \ S Cos2 6 dS =

S S

л 2я

= ^— ^ ^ cos2 ® s‘n ® d® d^ = уря#3. (4.28)

о о

Точно так же получим

Лц = А22 = -|р я/?3. (4.29)

Последние три равенства (1.8), если перейти в них к сферическим координатам и учесть, что при этом а = sin 0 cos X, |3 = = sin 0 sin X, у = cos 0 (нормаль к поверхности сферы направлена по радиусу), дают

дп

= n

r-R

¦— дп

Зфб

— V,

r-R

~~0’ дп

= 0. r-R

Отсюда непосредственно следуют равенства

Я44 = Я55 = А<66 = О- (4.30)

Зф,

Отметим, что равенство нулю производной и равенство

нулю функции ф; на бесконечности обеспечивают равенство нулю этой функции во всем пространстве.

Далее, в силу симметрии шара можно утверждать, что все hk = 0 при i Ф k.

213
(4.31)

Таким образом, формулы (4.12) примут вид Bi = ^vnR3Ui, i— 1,2,3;

Bt = 0, i = 4, 5, 6.

Согласно обозначениям (4.7) равенства (4.31) эквивалентны двум векторным равенствам

B = -|pjt/?3U, 1 = 0. (4.32)

В соответствии с формулами (3.18) и (3.23) получаем

(4.33)

R = —Ipn/^-gL,

L = 0.

Формулы (4.33) дают главный вектор и главный момент сил, действующих со стороны жидкости на сферу. Из (4.33) непосредственно видно, что в нашем случае силы приводятся к одной равнодействующей, приложенной в центре шара. Равенство нулю главного момента можно было бы предвидеть и с самого начала вследствие симметрии задачи.

Если масса шара равна т и на шар действует сила F, приложенная в его центре, то уравнения движения шара (4.2) можно переписать в виде

d\i . 2 n3 rfu „ тЧГ + ТЖ=Г’ или
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed