Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
вающему эту поверхность, то из
теоремы Томсона вытекает, что поток вектора вихря через поверхность S, ограниченную жидким контуром, не зависит от времени.
§ 2. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
Пусть выполнены условия теоремы Томсона, т. е. жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Тогда справедлива следующая теорема Лагранжа: если в некоторый момент времени t0 в фиксированной массе жидкости нет вихрей, то их не было в предыдущие и не будет в последующие моменты времени.
Действительно, пусть в рассматриваемой массе жидкости, находящейся в объеме т, в момент времени t0 нет вихрей, т. е. Q=0. Тогда течение жидкости потенциально: v = grad ф и циркуляция скорости Го по произвольному замкнутому контуру /0 равна нулю:
Г° = v • dr = ^ grad Ф • dr = 0. (2.1)
Рассмотрим выделенную массу жидкости в любой другой момент времени I и в ней возьмем произвольный контур /. Любому контуру / в момент t можно сопоставить контур /0 в момент t0, состоящий из тех же частиц жидкости, для которого справедлива формула (2.1).
217
По теореме Томсона циркуляция Г по контуру I будет также равна нулю. Применяя формулу Стокса, получаем для любого момента времени
$$QndS = r = 0, (2.2)
s
где 5 — поверхность, ограниченная контуром I и целиком находящаяся в объеме, занимаемом жидкостью.
Поскольку для любой области 5 интеграл равен нулю, из
(2.2) следует, что 0 = 0. Теорема Лагранжа составляет основу для рассмотрения безвихревых течений в гидромеханике идеальной жидкости, так как если движение жидкости безвихревое (потенциальное) в начальный момент времени, то оно будет безвихревым (потенциальным) и в последующие моменты времени.
Все предположения в теореме Лагранжа существенны. В частности, существенно не сформулированное явно предположение о гладкости поля скоростей.
В условиях Земли теорема Лагранжа является приближенной, так как массовые силы будут консервативны, если не учитывать силы Кориолиса, а сжимаемую жидкость можно рассматривать как баротропную, если пренебречь рядом факторов, например, теплопроводностью и др.
§ 3. ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
В этом параграфе предполагаются выполненными условия теоремы Томсона, а именно: жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны.
Первая теорема. Если жидкие частицы в какой-либо момент времени t0 образуют вихревую линию, то эти же частицы образуют вихревую линию во все последущие и все предыдущие моменты времени.
Докажем сначала, что если в некоторый момент времени жидкие частицы образут вихревую поверхность, то эти же частицы образуют вихревую поверхность при всех t {t < to и t>to).
В каждой точке вихревой поверхности согласно ее определению вектор вихря скорости перпендикулярен нормали к по< верхности, т. е.
Qn = 0.0 = 0. (3.1)
Пусть жидкие частицы в момент t0 образуют вихревую поверхность 50. Рассмотрим на этой поверхности произвольный замкнутый контур 10, ограничивающий участок поверхности сто. Согласно формуле Стокса имеем
r = $vdr=$$Q.ndS = 0. (3.2)
/в 0*
218
В момент времени t частицы жидкости, находившиеся в момент t0 на контуре /0, образуют контур I, ограничивающий площадку а поверхности S, на которую перешли частицы с поверхности 50. Но по теореме Томсона циркуляция по жидкому контуру не меняется со временем, т. е.
Следовательно, для участка а поверхности S, учитывая формулу Стокса, получаем
Ввиду произвольности о из (3.3) следует, что в любой точке поверхности выполняется (3.1), т. е. поверхность S вихревая. Действительно, допустим, что это не так и поверхность не вихревая, тогда найдется такая точка А этой поверхности, в которой Ф 0. По непрерывности Q, =/= 0 и в некоторой области, ограничивающей эту точку. Эту область можно выбрать настолько малой, что Qn будет сохранять тот же знак, что и в точ-
ке А. Взяв эту область за а, получим \ \ Qnda ф 0, что проти
воречит (3.3).
Докажем теперь, что вихревая линия остается при движении жидкости вихревой. Пусть в момент времени t0 жидкая кривая А0В0 есть вихревая линия. Проведем через какую-либо точку этой линии две пересекающиеся кривые. Проведя через точки этих кривых вихревые линии, получим вихревые поверх-
о(0) о( 0) гг о(0) о(0)
ности о! и г>2 ¦ Линия пересечения ii и Ь2 есть по построению вихревая линия А0В0. В момент времени t жидкие поверхности S® и S20) перейдут в поверхности S] и S2. По доказанному выше поверхности Si и S2 будут вихревыми. На поверхности St будут все жидкие частицы, которые были на S\0>, на S2—все частицы, которые были на 5г0). Жидкие частицы, которые принадлежали сразу двум поверхностям Si0) и Sf\ опять будут принадлежать сразу двум поверхностям ^ и S2. Это значит, что вихревая линия АйВ0 перешла в линию пересечения АВ вихревых поверхностей Sj и S2.
