Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим трубку, для которой
0)1 = (Оо -(- 1, Pi = Ро 4" 1> и контур ABCD, охватывающий эту трубку (рис. 45). Тогда
Рис. 45.
d Г Гв Г° Г-4
~di=- \ /® dp - ]в adp - Sc adp - \D <°dp=
/»С p A
= —\ (0dp—\ (odp = (o0 — ((00+ 1) = — 1. (4.4)
J В j D
При другом расположении поверхностей можно получить равенство ¦^7' — + 1. В первом случае трубка называется единичной
отрицательной, а во втором — единичной положительной изобаро-изостерической трубкой. Если контур охватывает N+ единичных положительных трубок и N~ отрицательных, то
^f = N+_N-' (45) Равенства (4.3), (4.5) составляют содержание теоремы Бьеркнеса. Они показывают, что в бароклинной жидкости Ф О
и, следовательно, вихри в бароклинной жидкости могут возникать и уничтожаться,
222
§ 5. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВИХРЯ
Получим уравнения, описывающие изменение вихря. Будем исходить из уравнений Эйлера, записанных в форме Громеки— Лэмба:
¦^7 + grad (-у-) — vXrotv = F — grad p. (5.1)
Применим к обеим частям этого равенства операцию rot. Тогда получим
+ rot grad — rot (v X rot v) = rot F — rot (y grad p).
(5.2)
Воспользуемся теперь следующими легко проверяемыми форму* лами векторного анализа:
rot (А X В) = (В • V) А - (А • V) В + В div А - A div В, (5.3) где (В • V) = (iBx + \ВУ + кбг) • (i + j + к =
= Вх ~дх + В«~ду + Bz ~дг'
rot (аА) = a rot А + grad а X А; (5.4)
rot grad В — 0; (5.5)
div rot С = 0. (5.6)
Из формулы (5.5) следует, что
rot grad -у = 0. (5.7)
Из формул (5.3) и (5.4), если положить A = v, B = rotv = i2, будем иметь
rot (v X rot v) = (й • V) v — (v • V) Q + Q div v. (5.8)
Из формул (5.4) и (5.5) получим
rot (-1- grad p) = (grady) X grad p = — grad p X grad p. (5.9) Подставляя (5.7), (5.8), (5.9) в (5.2), имеем ~ + (v • V) Q — (Q • V) v — Q div v = rot F + grad p X grad p, или
i?. = (Q . V) V + Q divv + rot F + -4j- gradpX grad p. (5.10)
Уравнение (5.10) называется уравнением Фридмана. Если поле массовых сил консервативно (F = —grad V) и жидкость баро« тропна, то
rot F —0, grad р X grad р = ф' (р) grad р X grad р — 0.
223
В этом случае уравнение Фридмана приобретает вид
— (Q • V) v — Qdivv = 0. (5.11)
Если, кроме того, жидкость несжимаема (divv = 0), уравнение
(5.10) запишется в виде
4? = (Q.V)v. (5.12)
Уравнения (5.11), (5.12) впервые были получены Гельмгольцем. Теоремы Гельмгольца можно доказать исходя из уравнения
(5.11).
Уравнение Фридмана дает возможность количественно описать изменение вихря, происходящее вследствие неконсерватив-ности массовых сил и бароклинности жидкости.
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ПО ВИХРЮ И ДИВЕРГЕНЦИИ
По заданному полю скорости легко найти его дивергенцию 8 = divv и вихрь Q = rot v. Поставим обратную задачу. Пусть
заданы функции Q = Q(x,y,z) и Q = Q(x, у, z). Требуется
найти поле скорости \(x,y,z), удовлетворяющее уравнениям
div v = 0 (х, у, z)\ (6.1)
rotv = Q (х, у, z). (6.2)
Очевидно, что эта система не всегда имеет решение (уравнений четыре, искомых функций три). Так как div rot v = 0, то одно из необходимых условий разрешимости системы состоит в выполнении равенства
div Q = 0. (6.3)
Будем предполагать, что условие (6.3) выполнено. Система уравнений (6.1), (6.2) должна решаться при соответствующих граничных условиях. Если ищется поле скорости внутри области т, ограниченной поверхностью S, то на этой поверхности задается нормальная составляющая скорости
Vn Is = vn (М)- (6.4)
Если поле скоростей отыскивается во внешней части т, то наряду с (6.4) необходимо задать скорость на бесконечности.
В первом случае функция vn(M) не может быть произвольной.
Действительно, интеграл (расход жидкости через по-
s
верхность) можно записать в виде
^ ^ v„ (М) dS = ^ ^ ^ div v dr.
s X
224
Следовательно, нормальная составляющая скорости на поверхности 5 должна удовлетворять условию
5Jo„(M)dS= JJJerfT. (6.5)
S т
