Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
247
жидкости в этом случае вихревые. Это второе принципиальное отличие движения вязкой жидкости ог движения идеальной жидкости.
§ 4. ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Выделим некоторый объем жидкости т с массой М, ограниченный поверхностью S. На этот объем * (массу) будут действовать объемные и поверхностные силы. Обозначим через ДЛт работу объемных сил, через ДЛЯ— работу поверхностных сил за промежуток времени dt.
Вычислим работу объемных сил ДЛТ. К массе pdx, находящейся в элементе объема dx, приложена сила Fpdx. Работа этой силы при перемещении объема dx на dr = vdt равна
Работа за время dt сил, приложенных ко всей массе жидкости в объеме т,
Вычислим работу поверхностных сил. На площадку dS с нормалью п действует сила тndS. Работа этой силы на перемещении vdt равна dt(xn-v)dS. Отсюда
Используя формулу Коши для тп ((3.7) гл. III) и применяя формулу Гаусса — Остроградского, находим
Складывая (4.1) и (4.3) и преобразуя второй интеграл, получаем
Для любой сплошной среды справедлив закон количества движения ((5.6) гл. III)
* В случае несжимаемой жидкости термины «объемные» и «массовые» силы равноправны, так как р = const,
6ЛТ = dt р (F -у) dx.
Т
(4.2)
5
-] dx. (4.3)
Т
248
Поэтому (4.4) можно переписать в виде
Т
X
Здесь через D обозначено выражение
(4.6)
Преобразуем первое слагаемое в (4.5), учитывая, что для несжимаемой жидкости (р = const) объем dx не меняется:
Из (4.7) следует, что первое слагаемое в (4.5) представляет собой изменение кинетической энергии Т за время dt. Таким образом,
Равенство (4.8) показывает, что работа, совершенная силами, приложенными к выделенной массе жидкости, лишь частично идет на изменение кинетической энергии.
Рассмотрим второе слагаемое в (4.8). Записывая скалярные произведения, входящие в (4.6), через проекции и подставляя вместо тik их выражения через составляющие тензора скоростей деформаций (аналогичные преобразования были проделаны в главе VIII, § 2), получим
Очевидно, что величина fl>0 и обращается в нуль только тогда, когда все компоненты тензора скоростей деформации равны нулю, т. е. когда жидкость движется как абсолютно твердое тело.
Таким образом, при движении вязкой жидкости только часть работы, совершенной массовыми и поверхностными силами, идет на изменение кинетической энергии, а остальная часть как механическая энергия теряется (рассеивается, дисси-пирует), превращаясь в тепло. Здесь D — энергия, которая рассеивается за единицу времени в единице объема. При движении вязкой жидкости происходит диссипация механической энергии. Для идеальной жидкости D — 0, так как ц = 0.
Шpv ¦-S-dT=Шp(v •dv)
^dx = dT. (4.7)
X X
(4.8)
X
249
ГЛАВА XIX
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Система уравнении несжимаемой вязкой жидкости, полученная ранее, имеет вид
div v = О,
^- = -Igrad p + vAv.
Отыскание точных решений этой системы существенно труднее, чем для идеальной жидкости. Почти все точные решения в каком-то смысле получены для одномерных течений.
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ ОТЫСКАНИИ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Будем считать течение одномерным, если скорости параллельны некоторому направлению в пространстве; при этом в точках плоскости, перпендикулярной этому направлению, гидродинамические величины могут принимать различные значения. Выберем направление движения за направление оси х. Тогда
vy = vz = 0. (1.1)
Выпишем систему уравнений вязкой жидкости, учитывая
(1.1):
ТСГ“0'
+ + + ^ + «¦») Iг = °- -37 = °' С'4)
Из (1.2) следует, что vx не зависит от х, из (1.4)—что р не зависит от у и z, т. е.
vх = vх (у, z, /), (1.5)
p = p(x,t). (1.6)
Учитывая (1.5), перепишем уравнение (1.3) следующим образом:
дух
dt
dt \ ду2 dz2 ) р дх
Левая часть (1.7) не зависит от х, следовательно, ^ может зависеть только от времени:
17= М, P = f(t)x + А(/). (1.8)
250
Таким образом, в одномерном движении давление является линейной функцией х. Функции /(/) и /[(/) могут быть найдены, если в двух сечениях хх и х2 задано давление р, а именно
р(хи t) = &~1{t),- Р(х2, /) = ^'2(0-
Тогда
др . Тг U) - 3~ 1 (0 _ Ар (1 9)
dx х2 — Ал: \ • )
