Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
77
и нетеплопроводная, то уравнение энергии (6.3) гл. V может быть упрощено. Для идеальной жидкости тх = —ip, ту == — ]р,
Тг = —к р И
д\ , д\ , д\ ,. r*'-d7 + x«'-dV + r*--W = -p,ilvv-
Уравнение энергии для идеальной нетеплопроводной жидкости примет вид
р— = е — pdivv. (3.1)
§ 4. жидкость, ПОДЧИНЯЮЩАЯСЯ ЗАКОНУ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ФУРЬЕ
Для широкого класса изотропных сред справедлив закон теплопроводности Фурье: количество тепла dq, прошедшее внутрь за время dt через площадку dS с нормалью п, пропорционально dS dt и производной от температуры по нормали:
dq = k dS dt. Для потока тепла tn, введенного ранее, закон
Фурье дает
<4Л>
При выводе уравнения энергии было показано, что tn — проекция на нормаль вектора потока тепла t, т. е. <n = (t-n). Производная = (п • grad Т). Таким образом, (4.1) равносильно соотношению
t=&grad7\ (4.2)
Равенства (4.1), (4.2) — запись закона теплопроводности
Фурье.
Коэффициент k — коэффициент теплопроводности. Величина k различна для разных жидкостей и зависит в основном от тем-
|ХСп
пературы. Обычно вводят число Рг = - ^ , называемое числом
Прандтля, и коэффициент теплопроводности k выражают через ц и Рг. В некоторых случаях число Рг оказывается постоянным. Для многоатомных газов вычисление k связано со сложными расчетами и экспериментами. Для капельных жидкостей в узких интервалах температур пользуются линейной зависимостью
k = k0 + a(T-T0).
Замечания. 1. В смесях газов гам, где существенна диффузия, вектор потока тепла t начинает зависеть не только от градиента температуры, но и от градиента концентрации.
2. В неизотропных средах вместо скалярного коэффициента теплопроводности k приходится вводить тензор теплопроводности К.
78
§ 5. НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ
Жидкость называется несжимаемой, если ее плотность в частице при движении сохраняется. В переменных Эйлера это означает, что
4f- = 0, или ^L + vx-^ + vy^- + vz^ = 0. (5.1)
Уравнение неразрывности (2.6) гл. II при условии (5.1) принимает вид
divv = 0. (5.2)
Уравнение (5.2)—уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости. Для однородной жидкости р = р0 = const и уравнение (5.1) удовлетворяется тождественно. Если жидкость неоднородна, то (5.2) надо рассматривать совместно с (5.1).
Схему несжимаемой жидкости используют при рассмотрении движений капельных жидкостей (если перепады давлений невелики), а также при рассмотрении движений газов с небольшими скоростями. Воздух при скоростях движения v < 100 м/с можно считать несжимаемой жидкостью.
§ 6. СЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ
В общем случае плотность является функцией давления и температуры. Уравнение, связывающее плотность р, давление р и температуру Т, носит название уравнения состояния и имеет вид
Р = / (Р, Т) или Ф(р, р, 7’) = 0. (6.1)
Для идеальных в термодинамическом смысле газов уравнение состояния — уравнение Клапейрона
pV — R0T, (6.2)
V — объем одного моля газа; Ro — универсальная газовая постоянная. Если m — молекулярный вес, то р = -у- и уравнение Клапейрона записывается в виде
Р = ¦%-&¦ (6-3)
Этому уравнению подчиняются многие газы, если давление р не очень большое и температура Т не слишком низкая. Часто урав-
D
нение состояния пишут в виде р = рRT, где/? =—газовая
постоянная. При более высоких давлениях часто используют уравнение Ван дер Ваальса
(p+yr)(V-b)^R0T. (6.4)
79
Здесь V = а а и Ь — коэффициенты, причем коэффициент а
учитывает силы взаимодействия между молекулами, b — собственный объем молекул. Коэффициенты а и b зависят от Т.
В общем случае в статистической механике строятся так называемые вириальные разложения
pv _ , , В(Т) с (Г) , ,
• I + у + у г + • • ¦, (6.5)
где 6(7’), С(Т)—второй и третий вириальные коэффициенты. В случае идеальных газов все вириальные коэффициенты обращаются в нуль. Часто вводятся полуэмпирические уравнения состояния.
ГЛАВА VII
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЕ
Уравнения, представляющие собой запись законов сохранения, вместе с дополнительными соотношениями, содержащимися в предыдущей главе, образуют систему уравнений гидромеханики. В главе VI на с. 70 была выписана система уравнений, представляющая собой запись в дифференциальной форме законов сохранения: закона сохранения массы, закона количества движения, закона момента количества движения и закона сохранения энергии.
