Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
x
Подставляя (4.1) и (4,2) в (3.8), получаем
SSS[p4r+pv,^-p(F-v)-ir(T*-v)~
X
— -щ{*у • V) --JI (Тг ¦ v) ~ e] dx = S S dS¦ (4-3)
s
Равенство (4.3) — одна из форм записи закона сохранения энергии в интегральном виде. Выражение в левой части (4.3) можно упростить. В главе III была получена запись закона количества движения в виде (5.6). Умножив скалярно обе части (5.6) на v и перенеся все слагаемые в одну сторону, получим
dv dtx дх„ дх,
ру.__рр.у_у.___у.__у.__ = 0. (4.4)
3* 67
Левая часть (4.4) содержит группу слагаемых, входящих в
(4.3). Так как их сумма равна нулю, уравнение (4.3) примет вид
Ш[р4г-т*-|г--If- —е]rf'T= 55 ^rfS. (4.5)
т S
Равенство (4.5) есть общая запись закона сохранения энергии в интегральном виде.
§ 5. ВЕКТОР ПОТОКА ТЕПЛА
Получим формулу для потока тепла t„. Рассмотрим тетраэдр (см. рис. 6), три грани которого параллельны координатным плоскостям. Введем те же обозначения, что и при выводе формулы Коши: Sx, Sy, 5г — площади граней, перпендикулярных осям координат; Sn — площадь грани с нормалью п; h — высота тетраэдра, опущенная на грань 5. Объем тетраэдра будет равен
т = -^-5Л. Запишем для этого тетраэдра закон сохранения энергии (4.5), применив к интегралам теорему о среднем:
I с, Г dE dv dv dv 1
3 Slt LP dt x ' dx и dy 2 ‘ dz Jcp —
= SC + Sxtc~x + Syt-y + Sztc-z- (5.1)
Здесь Sx = 5 cos (n, x), Sycos(n, y), Sz = 5 cos(я, z). Сократив все члены равенства (5.1) на S и устремив h к нулю, получим
tn + t_x cos (п, х) + t_y cos (п, у) + t-г cos (п, z) = 0. (5.2)
Из физических соображений ясно, что tn =—t-n, где tn описывает поток энергии внутрь, a t-n— поток через площадку с нормалью (—п) —описывает поток изнутри. Вводя величины tx, ty, tz, получаем
tfi = tx cos (n, x) + ty cos (n, y) + tz cos (n, z). (5.3)
Из формулы (5.3) следует, что совокупность (tx, ty, tz) образует вектор. В этом легко убедиться, если записать (5.3), выбирая последовательно в качестве п орты новой системы координат х', у, z'. Полученные формулы связи (tK>, ty>, tZ') и (tx, ty, tz) представляют собой известные формулы преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой. Вектор
t = M + g + /*k (5.4)
называют вектором потока тепла. Величина tn есть проекция этого вектора на п: Л, = (Ьп).
68
§ в. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Используем формулу (5.3) для преобразования интеграла, связанного с вектором теплового потока:
[/* cos (п, х) + ty cos (п, у) -f tz cos (п, z)\ dS =
x
Подставим (6.1) в выражение (4.5), представляющее собой зд-пись закона сохранения энергии: f f Г Г dE <3v dv _ dv
J J J LP dt Tjc dx Xy dy 2 dz
— e —
dt % dty dtz
-]dt = 0. (6.2)
dx dy dz.
Равенство (6.2) справедливо для любого объема, следовательно,
dE dV , дУ I dV I I dtx I 9t« _1_ 9tz /С 04
P-dT = Xx'~d^ + x«"d7 + x^~dl + e + ~d7 + ~df + ~d7- (6-3)
Равенство (6.3) — запись закона сохранения энергии в дифференциальной форме.
ГЛАВА VI
ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКИХ СРЕД
В предыдущих главах были получены дифференциальные уравнения, представляющие собой запись основных законов сохранения. Закон сохранения массы в общем случае при наличии источников массы имеет вид (2.3) гл. II. При приведении уравнений, представляющих собой запись законов сохранения, к более простому виду предполагалось, что источники массы отсутствуют. Сохраняя это предположение и в дальнейшем, выпишем полученные в дифференциальной форме законы сохранения.
Закон сохранения массы
-jf + P div v = 0. (I)
Закон количества движения
dv дтх дхи дхг
Р"5Г==РР +'aF ®
Закон моментов количества движения
р^г = рП + 1Хт, + 1Хт» + кХтг + ^+ + (III)
дях f toy , дяг
дх 1 ду 1 дг
dix , д(у , dtz
~д7 + ---- 4- dz
ду +
Закон сохранения энергии dE dv dv dv _____
P-dT = e + t*'~d7 + vi'"d? + t*'-dF + -d7 + -dF + ~dr- (IV)
В написанных уравнениях функции F, П, е обычно известны. Искомые функции —р, v, т,-*, М, тн, t. Таким образом, неизвестных больше, чем уравнений. Общих уравнений сохранения недостаточно для получения замкнутой системы уравнений, описывающей движение сплошной среды. В этих общих уравнениях нет информации о самой среде. Надо ввести модели сплошной среды, которые с некоторой точностью отражали бы действительные свойства жидкости и были бы достаточно удобны для получения замкнутой системы уравнений и ее решения. Во всех моделях, рассматриваемых в этой главе, тензор напряжений симметричен, в силу чего уравнение моментов количества движения приобретает вид (2.5) гл. IV.
