Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся к уравнению энергии (1.3). Подставим выражения (2.3) для тензора напряжений в группу слагаемых, входящих в уравнение энергии:
(dvx дУу\дУу (dvx dvz\ dvz fdvx dvy\dvx
dx ) dx dz dx ) dx H dy ~dTj~df+
1 ( , о dvy\ dvy (dvy dy2\dvz
+»{-р+2»1>гЫ+п-^+1&Ы
(dvx dvz\ dvx (dvz dvy\
dy
dvy
dz
88
В силу (2.2) div v = 0. Через Ф обозначена сумма
Используя закон теплопроводности Фурье (1.5) и предположение, что k = const, получаем
Учитывая (2.7) и (2.9), перепишем уравнение энергии (1.3) в виде
Для несжимаемой жидкости Е = сТ + const, где с — теплоемкость, и уравнение энергии примет вид
Если система уравнений (2.2), (2.6) проинтегрирована, т. е. v и р — известные функции, то уравнение (2.11) есть дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для отыскания температуры Т. Входящая в (2.11) функция Ф неотрицательна и обращается в нуль только в случае, когда жидкость покоится или движется как абсолютно твердое тело. Для идеальной жидкости Ф = 0, так как ц = 0. Функция Ф называется диссипативной функцией.
Если среда неподвижна, т. е. vx = vy = vz = 0, Ф = 0, то уравнение (2.11) принимает вид известного уравнения теплопроводности
Если коэффициент k нельзя считать постоянным, т. е. k = k(T), то уравнение запишется в виде
Итак, уравнения (2.2), (2.6), (2.11) образуют систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости
(2.10)
ср-^- = е + Ф + kS.T.
(2.11)
дТ д (, дТ \ . д (, дТ \ . д (, дТ \
рС dt ~ + дх (* дх ) + ду (* ду ) “*¦ dz (* dz)'
89
Функция ф имеет вид (2.8). Система (2.12) содержит пять уравнений для отыскания пяти функций: vx, vy, vz, р, Т.
§ 3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБ ОТЫСКАНИИ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ
Имеем систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости (2.12). Чтобы решение интересующих нас задач, описываемых этой системой, было единственным, должны быть заданы граничные условия. Рассмотрим граничные условия трех типов: на обтекаемом теле, на границе раздела двух жидкостей и на бесконечности (если жидкость заполняет безграничное пространство) .
А. Постановка задач для установившихся течений. В этом случае для любой гидродинамической функции f
IL — ci JL - г, М. 4- „ JL 4- „ Ж.
dt ’ dt — V* дх + °» ду + Vz дг ¦
1. Граничные условия на обтекаемом теле. При установившемся течении тела неподвижны, скорость и точек поверхности обтекаемого тела равна нулю. Вязкая жидкость обладает свойством прилипания к телу. Поэтому на поверхности 5 непроницаемого тела скорость частиц жидкости должна быть равна нулю, т. е.
V U = 0, или v„ |s = 0, 14 Is = 0, (3.1)
где vn, vx — нормальная и касательная составляющие скорости. Если поверхность проницаема, то
v Is = U (Af), где U (М) — заданная функция.
Кроме условий для скорости ставится условие для температуры обычно одного из двух видов: либо задается температура Т жидкости у поверхности тела, например, если TW(M)—температура точек поверхности тела, то
T\s = Tw (М), (3.2)
либо задается поток тепла 7,'идущий от тела к жидкости (или обратно):
<3-3>
90
Если kT, Гт — коэффициент теплопроводности - и температура тела, то это условие можно записать в виде
k°L | -ь °Ъ-
к дп Is- Кт дп
(3.3')
Условие (3.3) означает непрерывность потока тепла.
2. Граничные условия на поверхности раздела двух жидкостей. Поверхность 2 неподвижна. Условие для скорости
(3.4)
Условие (3.4) — условие непрерывности скорости при переходе через поверхность раздела, т. е. в вязкой жидкости должны быть равны не только нормальные, но и касательные составляющие скорости.
Если п — нормаль к площадке, расположенной на поверхности 2, то условие для напряжений будет
ад
Условие для потока тепла (сохранения потока тепла)
=
Д,
дТх
дп
дТп
(3.6)
дп
3. Условия на бесконечности
vloo^v^, PL = P00, 7’|00 = Г00. (3.7)
Таким образом, задача состоит в нахождении решения системы уравнений (2.12), удовлетворяющего условиям, указанным в пунктах 1, 2, 3.
Б. Постановка задач, для неустановившихся теч'ений.
1. Граничные условия на поверхности тела. При нестационарных течениях тела могут перемещаться в жидкости, могут и изменять свою форму. Пусть u (М, t) — скорость точки М поверхности S тела в момент времени t. Тогда для непроницаемого тела
v }s = u (М, t).
Для проницаемого тела v|s = V(M,t), где V(M, t) —заданная функция.
