Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения
D(x, у) Аналогично получим
др дУ дУ дУ
дх дх дх дх
др дУ = р В дУ дУ = 0. (2.8)
ду ду ду ду
(Р, V) = 0, D (р, V) 0. (2-80
(У, г) D(z, х)
Равенства (2.8) означают, что между р и V имеется функциональная зависимость
y = Q(p). (2.9)
Из уравнения (2.7) следует, что dp = pB dV, рВ — т. е
Р B = W(p).
(2.10)
Равенство (2.5) или эквивалентное ему равенство (2.6) дает общий вид сил, при которых возможно равновесие. При выполнении (2.5) силовые линии ортогональны к поверхностям V = = const. Направление F параллельно grad V.
§ 3. УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ
Пусть имеются несжимаемые жидкости I и II, разделенные поверхностью 2, причем р1 ф р11. Равенство напряжений в точках поверхности раздела в случае равновесия дает условие
p’l? = pnlz. (3.1)
95
Для каждой из жидкостей справедливы уравнения равновесия jV_=0i/7 lEL—0\f ЁР^- — 0\р.
дх Р *’ ду ргУ' dz рГг’
ApIL — piif дрП = piif
дх Р х’ ду Р У’ dz Р 2-
Умножим первое уравнение на dx, второе на dy, третье на dz и сложим полученные выражения. В результате будем иметь
dp' = p4Fxdx + Fydy + Fgdz). (3.3)
Аналогично
dp" = (>"(Fxdx + Fydy + Fzdz). (3.4)
Пусть dx, dy, dz — проекции dr — перемещения вдоль поверхно-
сти раздела 2. Тогда в силу (3.1)
rfpi|2 = rfpHls. (3.5)
Вычитая (3.4) из (3.3) и учитывая (3.5), получаем
(Р1 ~ Рп) (Fx dx + Fydy + Fz dz) = 0. (3.6)
Так как p1 ф p" по предположению, то из (3.6) следует, что вдоль поверхности раздела
Fx dx + Fydy + Fz dz = 0, (3.7)
или
F • dr = 0, (3.7')
т. e. в каждой точке поверхности ее элемент ортогонален вектору
силы F. Равенство (3.7) означает, что работа массовых сил при перемещении вдоль поверхности раздела равна нулю.
Если считать силы тяжести направленными вертикально, то поверхностями раздела будут горизонтальные плоскости. Если принять, что силы тяжести направлены к центру земли, то поверхностями раздела будут сферы.
§ 4. РАВНОВЕСИЕ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Система уравнений равновесия содержит уравнения (1.7) — (1.9). Уравнение состояния (1.9) для однородной несжимаемой жидкости имеет вид р = ро = const. Учитывая это, можно уравнение (1.7) записать в виде
F = ± grad р = grad (-?), (4.1)
т. е. равновесие несжимаемой жидкости возможно только в потенциальном силовом поле. Пусть
F = — grad V. (4.2)
96
Тогда из (4.1) и (4.2) следует, что grad (-7-) — — grad V, т. е.
\ ро /
р — С — р0К. (4.3)
Постоянная интегрирования С находится из условия р v^Vtt — Po-Таким образом, давление найдено.
Если массовые силы — силы тяжести, то Fx — Fy = О, Fz =
— —g и потенциал V = gz. Из формулы (4.3) в этом случае получаем гидростатический закон:
Р = Ро + Ро S («о — *)¦
Для несжимаемой жидкости коэффициент теплопроводности зависит от температуры или постоянен. Если k — k(T), то уравнение (1.8) для температуры — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка. В случае k = const уравнение
(1.8) переходит в уравнение Лапласа
д2Т , д2Т . д2Т А
+ -7КГ = °- (4-4)
дх2 ду2 ' дг2
Функции, являющиеся решением уравнения Лапласа, называются гармоническими. Следовательно, в рассматриваемом случае Т есть гармоническая функция.
Для решения уравнения Лапласа должны быть заданы граничные условия. Чаще всего встречаются два типа граничных условий и соответственно формулируются две краевые задачи.
1. На поверхности S заданы значения температуры, т. е. Z|s = Т(М) — заданная функция точек поверхности (задача Дирихле).
2. На поверхности S задается значение нормальной произ-водной, т. е. -5— = Q(M) (задача Неймана). Известно, что
on S
задача об отыскании решения уравнения (4.4), когда на S задана , разрешима только при условии, если ^ Q (М) dS — 0.
s
дТ
Физический смысл этого условия очевиден. Величина k-g^-dS есть поток тепла через площадку dS, а условие ^ QdS =
¦55
-з— dS = 0 означает, что общее количество тепла, входящее дп
