Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в любых осях координат имеет вид
Ххх гху 'ГХ2 1 0 0 еху *хг
ХУХ ХУУ Хуг = (- - р + Я div v) 0 1 0 + 2ц гух еуу гуг
Х2Х хгу xzz 0 0 1 *гх ъгу
Для составляющих получим
= — р + Я div v + 2цег<1 Tift==2|xelft (i^k).
(2.27)
(2.27')
Используя формулы для составляющих тензора скоростей деформаций ((8.8) гл. I), получим окончательное выражение для
75
составляющих тензора напряжении в вязкой жидкости:
dvx (dvx dvy \
Тхх = — Р + A. div v + 2ц -gj-, = хух = (г J,
dvu / dvu dvz \
*УУ = ~ Р + к div v + 2ц —, хуг = хгу =^—+ (2.28)
= — Р + A. div v + 2(i , xzx = ххг = ц .
В формулы (2.27), (2.28) входят два параметра: X и ц. Если X = [г = 0, то тензор напряжений вязкой жидкости обращается в тензор напряжений идеальной жидкости. Коэффициент ц называют коэффициентом вязкости (или сдвиговой вязкости), X— вторым коэффициентом вязкости (или коэффициентом объемной вязкости). Часто коэффициентом объемной вязкости назы-
вают не к, а величину V = Я + ц, Наряду с ц для несжимаемой жидкости часто рассматривают величину v, называемую кинематическим коэффициентом вязкости v = -^-. Коэффициент ^
может быть определен экспериментально; в случае, если известен закон межмолекулярного взаимодействия, его можно вычислить теоретически. Вообще говоря, [i = [i(p, Т), но зависимость от давления слабая. Наиболее часто пользуются следующими приближенными формулами для зависимости ц от Т. Для небольших интервалов температур используют линейную зависимость
I1 = Mo [ 1 + а (Т — Т’о)]-
Здесь а берется из эксперимента (для воздуха а = 0,00264); Но — значение коэффициента вязкости при Т = Т0. Для более
широких интервалов температур принимают — = (для
М’О V j о /
воздуха п = 0,76).
Часто пользуются формулой Сюзерленда
_ С -I- 273 / Т у/.
М- М-° с+т \ 273 ) '
Постоянная С для воздуха, азота и кислорода соответственно имеет значения 117, 110 и 127.
Второй коэффициент вязкости X исследовать трудно. В случае, если жидкость несжимаема, то divv = 0 и он выпадает из уравнений. Для случая одноатомных газов теоретически пока-
2 2 зано, что Х = — -g-ц, т. е. X' = X -f -g- |i = 0. Коэффициент X'
существен в задаче о распространении звука.
76
Замечание. Закон связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций, который мы установили исходя из закона трения Ньютона, имеет вид (2.27). Жидкости, которые подчиняются этому закону, называются ньютоновскими жидкостями. Однако существуют жидкости, которые не подчиняются закону Ньютона. Приведем примеры.
Пр и мер 1. Для растворов полимеров (например, каучук в бензоле) и некоторых легко деформируемых металлов, которые можно рассматривать как жидкости, часто используется следующая связь между Ц т<* || и || е<* || (предполагается, что divv = 0):
Тензор || to г а II — тензор второго ранга. Действительно, перемножив тензоры скоростей деформаций || е*/ II и || е« ||, получим тензор четвертого порядка с составляющими шцщ = е//е«. Свертывая этот тензор по индексу / = I — п, приходим к тензору II to;* II- В выражение для || xik II тензор || ш;* || входит с коэффициентом 25. Коэффициент 5 — новая физическая характеристика для жидкостей, он находится из эксперимента.
Пр и м е р 2. Модель вязкой жидкости неприменима для описания течений разреженных газов. Степень разреженности газа и область применимости модели вязкой жидкости к газам определяются величиной числа Кнудсена Kn = //L, где / — средняя длина свободного пробега молекул, L — характерный размер тела. Для слаборазреженных газов //L< 1, коэффициенты вязкости ц, и теплопроводности k пропорциональны / и закон трения Ньютона верен с точностью до членов порядка Кп2. Следующее приближение на этом пути (приближение Барнетта) дает один из простейших примеров неньютоновской жидкости. В этом приближении
причем коэффициент С имеет порядок Кп2, а тш — линейная комбинация вторых производных и произведений первых производных от гидродинамических величин р, Т, v.
Жидкость называется нетеплопроводной, если вектор потока тепла t равен нулю. Равенство t = 0 в проекциях на оси координат tx — ty = tz — 0.
Схему нетеплопроводной жидкости используют в случае, когда явления теплопроводности оказывают малое влияние на физический процесс, и обычно принимают одновременно с предположением об идеальности жидкости. Если жидкость идеальная
II tik II = — р/ + 2ц II eik || + 251| щк ||.
Здесь
xik = (— Р + Я div v) 6ik -f- це^ + Cxik,
§ 3. НЕТЕПЛОПРОВОДНАЯ ЖИДКОСТЬ
