Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
s
и выходящее через поверхность S, равно нулю. При равновесии это условие выполнено.
Если решать внешнюю задачу Неймана для безграничной области, то условие для потока тепла не ставится — тепло рассеивается.
Итак, в случае однородной несжимаемой жидкости задача об определении температуры решается независимо от задачи об определении давления.
4 Зак. 1031 97
§ 5. РАВНОВЕСИЕ БАРОТРОПНОЙ ЖИДКОСТИ
Введем определение: жидкость называется баротропной, если ее плотность есть функция только давления
Р = Ф(Р). (5.1)
В противном случае жидкость называется бароклинной. Предположим, что жидкость баротропна, и выпишем уравнения равновесия (2.1), учитывая (5.1):
1 дР _ р 1 - др — F —- АЛ. f /к о\
Ф (р) дх *’ Ф(р) ду «’ Ф(р) дг Г
Введем в рассмотрение функцию
pM=\f=\wm- <5-3>
Pi Pb
Для Р (р) справедливы равенства
дР _ 1 др дР _ 1 др дР _ 1 др
(5.4)
дх Ф (р) дх' ду Ф (р) ду ' дг Ф (р) дг
Система (5.2) с учетом (5.4) примет вид
? = Fx, §=Fy, <? = FZ. (5.5)
Из (5.5) следует, что массовые силы F должны быть потенциальны, т. е. равновесие возможно, если поле массовых сил
консервативно. Пусть
F = — grad V, (5.6)
где V — потенциал массовых сил. Из (5.5) и (5.6) следует др dV дР dV дР dV ,р ... „
d7 = -d7' dF = _dF' dP = ~dV- (5-7)
Интегрируя (5.7), получим
P{p) = C-V. (5.8)
Постоянная С находится из условия р | v=v0 = /?о- Определив р и подставив его в (5.1), получим р. Давление и плотность постоянны на поверхностях V = const.
Замечание. Если жидкость находится при постоянной температуре (изотермична) Т = Т0, то уравнение равновесия для температуры удовлетворяется тождественно, а уравнение состояния принимает вид
Р = f(p, Т0) = Ф(р),
т. е. плотность есть функция только давления — жидкость баро* тропна,
98
Пр и мер 1. Рассмотрим равновесие жидкости при отсутствии массовых сил, т. е. F = 0. В этом случае grad р = 0 (см.
(1.7)) и р — const.
Пример .2. Рассмотрим газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, при изотермическом равновесии
Подставляя Р (р) в (5.8) и учитывая, что p\v=v = Ро, получим
Давление убывает с высотой как ехр(—Cz).
§ 6. ОБЩИЙ СЛУЧАИ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ В КОНСЕРВАТИВНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
Рассмотрим общий случай равновесия сжимаемой жидкости в консервативном силовом поле, когда система уравнений равновесия имеет вид (1.7) — (1.9). Так как поле массовых сил консервативно, т. е.
то система уравнений равновесия с учетом (6.1) примет вид
Необходимое условие для равновесия выполнено — силы консервативны. Можно ожидать, что задача имеет решение. Из уравнений (6.2) следует, что dp — —рdV, т. е.
dP /С
Отсюда
силы тяжести, то V — gz и
F = — grad V,
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
где
р = f (р, Т), k = k(p, Т).
Используем результаты, изложенные в § 2, положив в приведенных там формулах 5=1. Тогда согласно (2.9)
p = p(V) (6.7)
и в соответствии с (6.6)
р = р0а (6.8)
Таким образом, давление и плотность есть функции только V. Так как по предположению температура входит в уравнение
состояния (6.4), то Ф 0. Решив (6.4) относительно Т и учтя
(6.7) и (6.8), получим, что температура также есть функция только V, т. е,
T = T(V). (6.9)
Очевидно, что на поверхностях равного потенциала V — const
давление, плотность и температура постоянны.
Решить задачу — значит найти вид зависимостей р, р,Т от V. Рассмотрим уравнение (6.3). Из (6.5) в силу (6.7) и (6.9) следует, что
k = k(p,T) = k(V). (6.10)
Так как k и Т, входящие в (6.3), есть функции лишь V, то урав-
нение можно переписать в виде
?[*##]+?[*#$]+?[*#?]-«• <6-">
Раскрывая производные от произведений, получаем
М*ж)№У+т+( ¦?)>
+*#[&+#+?]-* с-и»
Используя обозначения Af и grad f, будем иметь
w(kw) terad vr + k^Av = ot
или
AV
dvVdv)
bdT ~ (grad V)2 '
* dV
