Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Условия для температуры сохраняют свой вид, только в этом случае функции, входящие в (3.2), (3.3), зависят еще и от времени t.
2. Граничные условия на поверхности раздела сохраняют вид (3.4) — (3.6), но теперь от времени t могут зависеть не только функции v, тл, Т, но и сама поверхность раздела 2.
91
3. На бесконечности должны быть известны voo(t), p°o(t), Tco(t).
4. Начальные условия не отличаются от начальных условий в идеальной жидкости: в некоторый момент t0 должны быть заданы v, р, Т как функции координат х, у, z. Кроме того, должна быть задана поверхность раздела So в момент tQ.
Таким образом, требуется найти решение системы уравнений вязкой теплопроводной жидкости, которое в момент t — to удовлетворяло бы начальным условиям и во все моменты времени условиям на поверхности тела, условиям на поверхности раздела и условиям на бесконечности.
Методы современной математической физики, основанные на функциональном анализе, позволяют исследовать весьма широкий класс задач гидродинамики, уточнить их постановку и доказать теоремы существования и единственности решения, а также непрерывную зависимость решения от данных задачи.
Часть II. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ
ГЛАВА IX
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Рассматриваем покоящуюся жидкость. В этом случае в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, причем их величина не зависит от ориентировки площадки (см. § 1 гл. VI). Тензор напряжений принимает вид (1.7) гл. VI, а это означает, что для задач о равновесии жидкости не существенно различие между идеальной и вязкой жидкостью.
Будем предполагать, что у жидкости нет внутреннего момента и что для нее справедлив закон теплопроводности Фурье.
§ 1. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Выпишем систему уравнений гидромеханики в общем виде:
-^- + pdivv = 0; (i.i)
dv дхх дх„ дхг
р^г=рр+-ж + Ж + ^г; (1-2)
dE dv dv dv dtx dtu dtz
f>-dT=Xx'-d7 + Xy''di + tz"dF + ~dT + ~dF+~dF + R; (L3)
P — fiP> T). (1.4)
Так как жидкость находится в равновесии, то это означает,' что
д dfdf
о = 0 и ijsO, а тогда для любой функции f: +
+v• grad f =0. Имея это в виду, обратимся к системе уравнений
(1.1) — (1.4). Уравнение неразрывности (1.1) выполняется автоматически.
Закон количества движения (1.2) в силу равенств т* = — ip, ту = — IP, тг = — к р
93
запишется в виде
F —-j- grad р — 0. (1.5)
Уравнение энергии примет вид dtx dtu dtz
-ar + W + Hr + * = °- 0-6)
Уравнения (1.5), (1.6) и (1.4) образуют систему уравнений равновесия.
Предполагая, что объемных источников тепла нет, т. е. е = 0, и учитывая закон Фурье t = k grad Т, где k = k{p, Т), получим систему уравнений равновесия в виде
F = у grad р; (1.7)
p — f(p, Т). (1.9)
В системе уравнений равновесия пять уравнений, а искомых функций три: р, р, Т. Система переопределена. Это означает, что равновесие возможно не всегда. Получим условия разрешимости системы (1.7) — (1.9).
§ 2. УСЛОВИЕ ДЛЯ СИЛ
Выпишем уравнения (1.7) в проекциях:
дР _ „р
45—л. (2-D
ду
др
дг
= PF2.
Продифференцируем первое уравнение по у, второе по х и вычтем одно из другого. Получим
(dFy dFx \ , „ <Эр «Эр
Р("д* дГ)^ у~д7~ X'W~°’ (2‘2)
Аналогично получим еще два уравнения:
(дFz дFu \ др др
>№-т?) + '-?-'.?-о- *0
94
Умножая (2.2) нц Fz, (2.3) на Fx, (2.4) на Fy и складывая, получим
(dFx dFy\ ( с (дРх дРг} ( с (dFy дрх\\_п
Р I х V ду дг ) + У\ дг дх )~^ г\ дх ду )\ J
(2.5)
или в векторном виде
F • rot F = 0.
(2.50
Условие (2.5) необходимо для возможности равновесия. Это условие есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы векторное поле F имело вид
F = В grad V,
где В и V — некоторые функции координат. Подставляя (2.6) в (1.7), получаем
grad V = grad p.
Образуем якобиан
D (р, V)
D (х, у)
равновесия (2.1) и равенство (2.6)
D (P. V)
и учтем при этом
(2.6)
(2.7)
