Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Левая часть (6.13)—функция только V, следовательно, и правая часть должна зависеть только от V. Обозначим
,(У). (6.14)
Отсюда следует, что равновесие возможно, если потенциал массовых сил таков, что справедливо (6.14). Поле массовых сил известно, и если (6.14) выполнено, то q(V) — известная функ*
100
ция. Чтобы установить, для каких потенциалов массовых сил выполнено равенство (6.14), введем вместо q{V) новую функцию R(К) согласно равенству
Функция R(V) не может быть выбрана произвольно. Посмотрим, какому условию она должна удовлетворять. Из равенства (6.14) следует
Таким образом, равновесие жидкости в консервативном поле сил возможно, если некоторая функция R(V) является гармонической. Если предположить, что V — именно такой потенциал, то функция Я (К) может быть найдена из соотношения (6.15). Имея это в виду, вернемся к уравнению (6.13), которое запишем в виде
Собирая вместе (6.4), (6.6), (6.19), получим систему уравнений равновесия
Таким образом, задача свелась к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Интегрируя систему дифференциальных уравнений, получим общее решение задачи о равновесии жидкости в консервативном поле сил
Для определения произвольных постоянных С и С2, С3 должны быть заданы условия. Условия могут быть различными:
(6.15)
J^R(V) + -^R(V) + -^rR 00 = 0. (6.17)
R" (V) R’ (V) •
(6.18)
. dT R' (V) •
k~dV
Интегрируя один раз уравнение (6.18), имеем
k^ = CxR'{V).
(6.19)
= -/(р>п,
k-§^CxR'(V),
Р = /(р,Г).
(6.20)
Р — Р (Vj Сь С2, Сз), T = T(V, Си С2, Сз), 9 = f(p,T).
(6.21)
101
например, на поверхности равного потенциала V = У0 могут быть заданы р и Т, на поверхности V = V\ задано Г, т. е.
Plv_7o = Po. г = ^о. т\у-у,жТ1- (6-22)
Замечание. Все рассуждения сохранились бы и в случае, когда k = k(p, Т, V) и уравнение состояния имеет вид р = = р(р, Т, У). Вместо системы (6.20) получили бы несколько более общую систему
% =-f(p. Т, V),
dT dR(V) (6.23)
HP, Т, У)|? = с,-^.
р = f(p, т, V).
D
Пусть газ подчиняется закону Клапейрона: р рТ. Предположим, что in —m(V), k = k(V) (например, молекулярный вес m и коэффициент турбулентной теплопроводности k зависят от высоты). Система уравнений равновесия (6.23) с учетом уравнения состояния примет вид
dp _ _ m (V) р . dV R0 Т '
(6.24)
kWw = с>^р-; <6-25)
___ш (V) р
(6.26)
-\\j
Из (6.25) получим
к
Т (V) = С2 + С, J dt. (6.27)
va
Подставляя (6.27) в (6.24) и интегрируя полученное уравнение, будем иметь
1пр = 1пСэ-^5 -------?М*!--------. (6.28)
Ко С2 + С,
Отсюда
р — С3 exp
-is
m (r|) dri
v r j-г С 1 dR nt V„ C2 + С, l — — dl
J V, k dl
(6.29)
Равенства (6.27), (6.29), (6.26) дают решение задачи.
Запишем полученное решение для случая, когда массовые силы ¦— силы тяжести Fz — —g = const. Потенциал массовых сил V = gz удовлетворяет уравнению ДУ = 0. Из (6.14) следует, что q(V) = R"(V) = 0, откуда R'(V) — const. Предпола-
102
гая, что k и tn постоянны, из (6.27) получаем
Т = С2 + -^У.
(6.30)
Из (6.24) и (6.26) найдем р и р:
rrife
(6.31)
Постоянные Сь С2, С3 находятся из условий на границе. Пусть эти условия имеют вид (6.22) и пусть на поверхности Земли z = 0. Тогда для V — gz можно равенства (6.22) записать в виде Т |г=0 = Го, р!г=0 = Ро, ?’Ц = 7’|- С учетом условий при г = 0 и г — Z\ получим известные барометрические формулы
Последние равенства дают ход изменения температуры, давления и плотности с изменением высоты в предположении, что k и m постоянны. Температура линейно зависит от высоты. Для земной атмосферы падение температуры на 1000 м примерно равно 6,5°.
Нетрудно выписать решение и для случая, когда массовые силы изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли.
