Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что жидкость покоится или движется как абсолютно твердое тело. В этом случае все етп = 0. Из формул
(2.5) тогда будет следовать, что
ххх = Яш, хуу 3=1 ^20> xzz = ^30|
_ _ _ _ _ _ (2'6)
Тд;у — ХуХ Що> fyz xzy ^50> Xzx Xxz ^60-
Но по условию 1) все касательные напряжения при этом обращаются в нуль. Следовательно,
а40 = а50 = ^60 = 0- (2.7)
Нормальные напряжения в этом случае не зависят от ориентировки площадки. Обозначим общую величину этих напряжений через —р. Тогда
а ю = а20 = а30 — — р. (2.8)
Перейдем к системе координат х', у', г', оси которой являются главными осями для тензора скоростей деформаций. Обозначим ех'х/==е1> еу'у'~е2’ ez'z' — e 3 (е** = 0 ПРИ Выпишем
выражения для t*v и хХ'У’ = хУ'Х' в этих координатах, учитывая (2.7) и (2.8):
V*' = - р + апе1 + а1282 + а.зез; (2-9)
Х х'у’ = V*' = а4.е1 + а42е2 + а43е3- 10)
Рассмотрим формулу (2.9). Покажем, что а\2 = ai3. Для этого введем новые оси координат
х" = х', у" = г', г" = у'. (2.11)
Оси х", у", г" — тоже главные оси тензора скоростей деформаций. В этих осях равенство (2.9) сохраняет свой вид:
Хх"х" = - Р + аиеГ + ai2< + а1з<- (2-12)
73
Здесь е", е2, е" — главные скорости деформации в осях х", у", г". Учитывая (2.11) и определение величин е/, получим
•• e«_?V_i^_e е" = е (2 13)
е|> 2 я„" а-,' ез> Е3 2'
— дх" дх' I’ с2 ду" дг Подставив (2.13) в (2.12), будем иметь
V*'= “ Р + апе> + а12ез + а1зег (2.14)
Так как оси х’ и х" совпадают, то хх' — тх» и
Тх"л" — tx'x'. (2.15)
Приравнивая (2.9) и (2.14), получим
(«12 — «1з) (е3 — е2) = 0. (2.16)
Так как (2.16) имеет место при любых е2 и ?з, то, следовательно,
«12 = «1з- (2.17)
Положим
«12== «1з== ап = А--|-2(х. (2.18)
Подставляя (2.18) в (2.9), получим
Vx' = — Р + ^ (ei + е2 + е3) + 2це,. (2.19)
Аналогично получим формулы для туу и хг'г’\
V*' = - Р + ^ (е, + е2 + е3) + 2цеа,
V*' = - Р + Л («j + е2 + е3) + 2jie3.
(2.19')
Здесь ei + е2 + е3 = div v.
Рассмотрим теперь выражение (2.10) для касательных напряжений и покажем, что в главных осях тензора скоростей деформаций все касательные напряжения равны нулю. Наряду с системой координат х', у', г' введем систему координат х'", у'", г’"-.
у"' = -у', г"' = г'. (2.20)
Новая система координат также является главной и можно написать
W" = аиг'” + а42е2// + а43ез"- (2,21)
Очевидно,
V' = °x'. V'^-V У*'" = Уг'.
ш dvx„, dvx,________"П/______ ^п/
1 ^ дх'" ~~ дх' I’ 2 — е2> ез
(2.22)
Подставляя (2.22) в (2.21), получаем
VV" = а41е1 + «42®* + a43e3 = T,V (2'23)
74
Но по физическому смыслу хх, , и хх равенство:
ХУ
справедливо и такое
(2.24)
Действительно, *х,„= tx„ величина хх, , есть проекция вектора хх, на ось у', а хх„,у„, — проекция этого же вектора на противоположное направление. Из равенств (2.23) и (2.24) следует, что
Хх’у’ = 0.
Аналогично устанавливается равенство нулю и остальных касательных напряжений:
/' — ^у'х' — Тх'г' — Т*'*' — ty'z' — Xг’у' — 0,
(2.25)
т. е. в главных осях тензора скоростей деформаций касательные напряжения в вязкой жидкости равны нулю. Но такие оси есть главные оси тензора напряжений. Следовательно, главные оси тензора скоростей деформаций одновременно являются и главными осями тензора напряжений.
Равенства (2.19) и (2.25) можно объединить, записав их в виде одного тензорного равенства:
Ххх Хху Ххг 1 0 0 0 0
Хух ХУУ хуг = (--- р + Я div v) 0 1 0 + 2ц 0 «2 0
Хгх Хгу хгг 0 0 1 0 0 е3
(2.26)
Равенство (2.26) устанавливает связь между компонентами двух тензоров (правую часть можно записать в виде одного тензора) в главных осях. Но если два тензора равны между собой в каких-то осях координат, то они будут равны и в любых других осях координат, так как компоненты тензора при переходе к другой системе преобразуются по одним и тем же законам.
