Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА VIII
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЕ
В этой главе будем рассматривать вязкую жидкость, для которой связь тензора напряжений с тензором скоростей деформаций дается формулами (2.28) гл. VI, установленными на основе закона трения Ньютона. Будем предполагать, что жидкость подчиняется закону теплопроводности Фурье (см. (4.1) гл. VI). Будем рассматривать жидкости без внутреннего момента, б этом случае уравнение моментов (учитывая, что Пк = ты) удовлетворяется автоматически.
§ 1. ОБЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Уравнение неразрывности
-^- + pdivv = 0. (1.1)
Уравнение движения сплошной среды
dv дхх дхи дхг
Р'5Г==Р дх ду (1-2)
Уравнение энергии dE dv dv dv dtx dtu dtz
р-5Г = е + т*- Ш + ХУ + + + Ж + -ЗГ-
Связь тензора напряжений с тензором скоростей деформаций:
. . j. . „ dvx (dvx dvy\
т**— p + Л div V + 2ц , xxy — xyx -(
d°u f dvu dv,\
^ = ~P + ^dlvv + 2fA-^-> = + О-4)
т« = —p + A,dlvv + 2{i-|j-, xzx = xXI=\x(J^ + -ijf).
Закон теплопроводности Фурье
* и дТ . , дТ . , дТ ,,
х 5Я= дх ’ у ду ’ г~~ дг ' ^ *5)
Уравнение состояния
f(p, р,Г) = 0. (1.6)
as
К этим уравнениям надо присоединить выражения для внутренней энергии Е, коэффициентов вязкости ц, и А и теплопроводности к:
Е — Е(р, Г), К = Х(р,Т), ц — ц (р, Т), k<=k(p, Г). (1.7)
Считаем, что поле массовых сил F и вид функции е известны.
Таким образом, имеем систему (1.1) — (1.6), в которой число неизвестных равно числу уравнений. Если в уравнения (1-2) и
(1.3) подставить (1.4) и (1.5), т. е. исключить из рассмотрения тг* и tj, то получим систему шести уравнений: (1.1), (1-2), (1.3),
(1.6) для шести искомых функций: vx, vy, vz, р, р, Т.
Выразив из уравнения состояния одну из функций через две другие и подставив ее выражение в уравнения (1.1), (1-2), (1.3), можно получить систему пяти уравнений для отыскания пяти функций.
§ 2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Рассматриваем однородную несжимаемую жидкость. Для нее р = ро = const — уравнение состояния. Будем предполагать, что коэффициенты вязкости ц и теплопроводности k являются постоянными:
ц == const, к = const. (2.1)
Так как р = const, то ^ = 0 и уравнение неразрывности принимает вид
дох доу . до;
дх ду дг Тензор напряжений в' силу (2.2) будет
. „ дох (dvx д”у\
гхх = -р + 2ц-^Г, гху^гух = ц\ — + -^г),
ду
1чу = -р+т^ = т**=К^г+-^г)’ (2-3)
т„=-р + 2ц^, тгх = тхг = ц(^ + ^.).
Рассмотрим уравнение движения (1.2). Запишем его проекцию на ось х и подставим вместо твыражения (2.3). Учитывая при этом (2.1), получим
nd°* П I 9 ( | 0 aCFj; Ч а Г (dvx t dt)y\l .
р— = 9рх + Ж1“ р + 2» ~дг) + If |.ц(ж + ~дГ)\ +
+*М?+?)]-л-&+<*?(?+#+-?¦)+
¦МФ+Ф-+430- <2«
87
В силу (2.2) уравнение (2.4) примет вид
dvx _ р_____1 др . ц (d!vx . d2vx . d3vx\
dt х р дх р V дх3 ' дуг дгг )'
Аналогично запишутся два других уравнения — проекции на оси у и г. Вводя обозначения
v_________jj_ d*f - d2f j d2f _ * г /о c\
p ’ dx2~*~ dy2 ^ dz2 *2 '
перепишем уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в виде
^L=F __Li?-4-vAy
dt p dx
dvu I dp
-df = F«-j-W + ^vy> <2-6)
- -F,-i-4?- + vAt»a
dt 2 p dz
Уравнения (2.6) равносильны одному векторному уравнению 4f = F — у grad P + v Av. (2.6')
Уравнения (2.6) носят название уравнений Навье—Стокса.
Уравнение неразрывности (2.2) и уравнения Навье—Стокса
(2.6) образуют систему четырех уравнений для отыскания vx, vy, vz и р, т. е. для несжимаемой вязкой жидкости при ц = const задача об отыскании поля скоростей и давлений может быть решена независимо от задачи отыскания поля температур. После того как функции v и р будут найдены из (2.2) и (2.6), можно искать температуру, решая уравнение энергии.
В отличие от уравнений Эйлера в уравнения Навье—Стокса входят производные второго порядка. Это должно отразиться на постановке граничных условий.
Если же ц = 0, то уравнения Навье—Стокса переходят в уравнения Эйлера.
