Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
«„ = ях cos (п, х) + пу cos (п, у) + пг cos (п, z). (2.1)
60
Поток внутреннего момента будет полностью определен, если задана таблица составляющих псевдовекторов я*, пу, я2
Таблица ||я<*||— аффинный ортогональный псевдотензор второго ранга.
Преобразуем поверхностный интеграл, входящий в (1.18), к объемному, используя формулу (2.1):
С учетом (2.2) закон момента количества движения (1.18) в интегральной форме запишется в виде
Так как объем т произволен, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю. Отсюда
Равенство (2.3) — дифференциальная запись закона момента количества движения. Из (2.3) следует, что существует следующая связь между законом сохранения момента и симметричностью тензора напряжений.
1. Если жидкость без внутреннего момента количества движения, т. е. М = 0, поле таково, что внутренний момент не возникает в объеме, т. е. П = 0 и я= 0, то, как следует из
лXX лху лхг
II nik || =
лух луу nyz пгх nzy пгг
* cos (п, х) + nj/ cos (ti, у) + я2 cos (п> г)] dS =
s
S
Т
X
длх дл у дяг
дх ду дг
(2.3):
• X + j X + k X тг = 0.
В развернутом виде это равенство дает
(тху — хух) к + (хгх — xxz) j + (туг — xzy) i = 0.
61
Из этого равенства следует симметрия тензора напряжений, т. е.
хгх = х хг, Хуг = хгу. (2.4)
2. Если среда такова, что тензор напряжений у нее симметричен, то закон момента количества движения приобретает вид
dM _ дпх дя„ дл~
Р ~1Г = Р~~дх ~ду~ ~дГ • ^2'5^
Физически это означает, что в жидкости действуют два незави-
симых закона: закон сохранения орбитального момента и закон сохранения внутреннего момента, причем закон сохранения орбитального момента является следствием закона сохранения количества движения.
ГЛАВА V
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Для записи такого фундаментального физического закона, как закон сохранения энергии, необходимо установить, из каких видов энергии складывается полная энергия жидкого объема, определить виды притоков энергии извне и учесть превращения одного вида энергии в другой.
§ 1. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ
Рассмотрим сначала некоторую покоящуюся однородную массу жидкости М в объеме т. Пусть О означает ее исходное состояние, которое, вообще говоря, определяется некоторым набором параметров (например, давлением, температурой и др.). В результате нагрева, сжатия и других воздействий масса жидкости перейдет в новое состояние, определяемое другими значениями параметров. Переход массы жидкости из исходного положения О в другое связан с изменением Д<?? энергии. Будем считать, что в исходном состоянии масса М имела запас энергии ??о. Тогда можно ввести величину
= #„ + Д#. (1.1)
Если каким-то образом выбрана величина с?0 и известно Д<?Г (экспериментально или теоретически), то для любого нового состояния величина <S может быть определена по формуле (1.1). Таким образом, через Д1Г определяется величина внутренней энергии <8 данной массы жидкости. Естественно ввести величину Е — внутреннюю энергию, отнесенную к единице массы. В общем случае неоднородной движущейся жидкости Е — функция координат и времени:
? = lim?cp = lim (1.2)
т-+0 т-*0 т
Из определения (1.2) следует, что запас внутренней энергии в массе dm равен dHf> = Edm = Epdx. Внутренняя энергия конечной массы жидкости в объеме т
#= pEdx. (1.3)
X
Выражение для Е обычно известно из физики. Для совершенного газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, уравнение состояния которого есть уравнение Клапейрона р — pRT, внутренняя энергия зависит только от температуры. Выражение для внутренней энергии имеет вид
E=^cvdT, где с„ — теплоемкость при постоянном объеме.
63
Здесь в качестве исходного берется состояние, в котором абсолютная температура равна нулю. Когда нет процессов диссоциации и ионизации, внутренняя энергия состоит из энергии поступательного Еп, вращательного Евр и колебательного Ек движений молекул. Для одноатомного газа cv — const и ? = ?'„ =
з
=—RJ. Для случая двухатомного газа в определенном диапазоне температур (для кислорода и азота примерно при температурах не выше 600—700 К и не слишком низких температурах), когда практически возбуждены только поступательные и вращательные энергии молекул, теплоемкость постоянна и
5
Е = Еп + Езр = y RT- При более высоких температурах начинает сказываться возбуждение колебательной энергии молекул. Теплоемкость cVr колебательных степеней свободы зависит от
температуры, и внутренняя энергия может быть представлена
ST 5 (* г
cv dT — -z-RT + \ cv dT. Зависимость cv от T о ^ Jo к к
