Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
известна. Для многоатомных газов вид функций Евр и Ек от Т будет зависеть не только от числа атомов, но и от структуры молекулы.
§ 2. ПОЛНАЯ ЭНЕРГИЯ
Если жидкость движется, то она обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия dTK массы dm, движущейся со ско-
^2 лр2
ростью v, равна dTK — dm -у = -у- dx. Кинетическая энергия массы, заключенной в объеме т:
(2-1)
т
Полной энергией называется сумма кинетической и внутренней энергий данной массы газа
U = Tt + ?, U=\\\P(^- + E)dx. (2.2)
§ 3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Изменение полной энергии некоторой массы жидкости за промежуток времени от /] до ^ происходит за счет работы массовых и поверхностных сил, за счет притока за тот же промежуток времени тепловой энергии вследствие наличия объемно-распределенных источников тепла, а также притока тепла через поверхность. Если обозначить через Ах работу массовых сил, /4S — работу поверхностных сил, QT — объемное поступление энергии, Qs — количество тепла, поступившее через поверхность
64
за время от t\ до t2, то закон сохранения энергии запишется в виде
Здесь С/|/ — значение полной энергии в момент времени В соответствии с определением полной энергии имеем
Вычислим слагаемые, входящие в правую часть (3.1).
Работа массовых сил. Обозначим через ДЛТ работу за промежуток времени dt массовых сил, приложенных к массе в объеме т. На массу dm в объеме dx действует сила pFdx. Перемещение этой массы за время dt есть dr = vdt. Работа указанной силы на перемещении dr равна
Работа поверхностных сил. На элемент поверхности dS с нормалью п действует сила xndS (рис. 9). Работа этой силы за время dt равна (xn’v)dSdt, и, следовательно, работа сил, приложенных ко всей поверхности S, будет
Работа поверхностных сил за конечный промежуток времени
Объемное поглощение энергии. Иногда приходится учитывать поглощение (или выделение) энергии каждым элементом объема жидкости. Не указывая конкретных причин поглощения или выделения энергии, будем учитывать этот факт следующим образом. Обозначим через zdxdt количество тепла, поступившего в объем dx за время dt. Величину е, имеющую смысл секундного притока тепла, отнесенного к единице объема, назовем скоростью объемного поглощения энергии. Энергия,
(3.1)
p(F-v)dt dt, откуда следует, что
zndS
X
Работа, совершенная массовыми силами за конечный промежуток времени от t\ до t2, будет
Ax^dt\\\P{F^)dx. (3.3)
Рис. 9.
s
(ti, h)
(3.4)
3 Зак. 1031
65
поглощенная за время dt конечным объемом т, будет AQ06 =
Поток тепла через поверхность. Через поверхность S, ограничивающую объем жидкости т, тепло извне вследствие теплопроводности может проходить внутрь нашего объема. Количество тепла, проникающее в объем через элемент поверхности dS с нормалью п за время dt, равно tndsdt. Величина tn есть так называемая плотность потока энергии, тепловой поток, отнесенный к единице площади и единице времени. Количество тепла, прошедшее за dt через всю поверхность S,
AQS = dt\\tn dS. За время от t\ до t2 в объем т через поверх-
Подставляя (3.2) — (3.6) в (3.1), получаем интегральную запись закона сохранения энергии для конечного промежутка времени:
Разделим обе части равенства на разность /2—и, устремив t2 — t\ к нулю, получим еще одну запись закона сохранения энергии
Таким образом, скорость изменения полной энергии некоторой массы жидкости равна сумме мощности, развиваемой объемными и поверхностными силами, скорости объемного поступи ления энергии и потока энергии через поверхность.
X
S
ность S пр-оникнет количество тепла
(3.6)
х х S
т S
66
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ЗАПИСИ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
В дальнейшем будем предполагать, что нет источников массы, т. е. уравнение неразрывности имеет вид (2.6) гл. И. Левую часть равенства (3.8), используя (15.7) гл. I, можно преобразовать:
1Шр(-?+е)л=
” SЩ'ЗГр ("Т + Е) + р (4 + Е) div v] ix =
= \ \ \ [(-if+рdiv») (тг+Е)+р тг (тг+Е)]ix ”
¦=SSSp|-(-F+E)*=SSHpv--af+p4f]*- «•»
X X
Используя формулу Коши для хп в интеграле $ J т" * v d^’
S
перейдем от интеграла по поверхности к интегралу по объему:
dS — ^ ^ [(** • v) cos (n, x) + (xy • v) cos (n, у) + s s
+ (тг • v) cos (/г, 2)] dS =
= S S S Ыт <T* • v>+ ~k{ХУ *v) + -k’v)]dr• (4-2)
