Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
= "Ь exj/4 "Ь ^ = i ®1 ftift,
УДу — ЪуЛ + ЬууЪ + ej/z? = e2klk, (8.15)
Одг ~ 8гуТ) -f- вгг? = i &3ktk-
Здесь
28
Из (8.15) видим, что скорость деформации уд связана с таблицей &, которая в силу (8.16) симметрична:
“г/г
— II Eik I'
(8.17)
§ 9. ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ
Таблица (8.17) определяет аффинный ортогональный тензор второго ранга. Действительно, вектор v — тензор первого ранга.
dv,
Совокупность величин,
дхк
определяет тензор второго ранга
I ^Vi
дх.
Его всегда можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Тензор (8.17) & = IIе?-*||
I dv{
есть симметричная часть тензора —
I axk .
Доказательство тензорного характера величин е,-* можно провести и непосредственно. Имеем равенство (8.13); в нем v,4, vB — векторы, Я X Р — произведение псевдовектора Я на вектор р — также вектор. Следовательно, уд— также вектор.
Рассмотрим скалярное произведение Уд-р. Это произведение— скаляр, инварнант (проекция уд на р, не зависит от системы координат). Для скалярного произведения, так как уд = = grad F, имеем
dF ^ , dF t , dF t
= 1 + -Щ- 62+^7 6з-
р =
dli
dl з
(9.1)
Но F(%i, |г, ?з)—однородная функция второй степени; по теореме Эйлера об однородных функциях можем записать:уд-р = = 2F. Таким образом, F— инвариант, не зависящий от системы координат.
Рассмотрим две системы координат. Пусть |ь ?2> Ез — старые координаты, I', 1'2, I'— новые. Так как F — F', то, имея в виду
(8.10), можем написать
EL, ?3
I Smn&m&n = i 1 8;Д;1/. (9.2)
Выразим старые координаты через новые:
~ 2т_1 атДт> ?/ 2rt=,]a„/i„
и подставим (9.3) в правую часть (9.2):
Em-i ZL. С КХп=Д.. ?/=,«// (23m=1 (ZLi »„Д) =
(9.3)
= Е:
Z3„_.iX(EL (9.4)
29
Приравнивая коэффициенты, получаем , = уз уз
, е.,а .а
1 if mi nf
(9.5)
Формула (9.5)—формула преобразования компонент тензора второго ранга при переходе от одной системы координат к другой. Следовательно, таблица ||е,*|| есть аффинный ортогональный тензор второго ранга — тензор скоростей деформаций.
С тензором скоростей деформаций связана квадратичная форма F, имеющая вид (8.10). Всегда можно ввести такие координаты |ь |2> ?з> в которых квадратичная форма примет вид
F = «1&1 + е2^2 + Е3^.
В этих координатах тензор скоростей деформаций будет
0 0
I sik II =
е2
0
о
(9.6)
(9.7)
Оси, в которых тензор е,* имеет вид (9.7), называются главными осями тензора скоростей деформаций (это главные оси квадратичной формы F). Величины еь е2, ез, которые входят а
(9.7), называют главными скоростями деформаций. Известно, что еь ег, ез являются корнями кубического уравнения
е11 — ^ е12
е21 е22 — ^ е3! е32
Корни этого уравнения всегда корней уравнения (9.8) следует Не,*
Запишем уравнение (9.8) в виде
— Л3 + /,Л2 —/2Л + /3 = 0.
е13
е2з = 0- (9.8)
езз — ^
вещественны. Вещественность из симметричности матрицы
(9.9)
Поскольку главные скорости деформации е,- — инварнанты, инвариантами должны быть и коэффициенты уравнения (9.9). Эти коэффиценты /ь /2, /3 называют соответственно линейным, квадратичным и кубичным инвариантами тензора скоростей деформаций. Наиболее простой вид имеет линейный инвариант/]. Это просто свертка тензора е,*:
Л — еп ~Ь е22 "Ь езз —
дх1 дх2
дхг
: divv.
Коэффициенты h, h можно записать в виде
еи
е21
е12
е22
+
в22 е23
е32 е33
/3 = det [|e,J
+
833
е13
е31
е11
30
§ (0. СМЫСЛ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ
Выражения для компонент скорости деформации имеют вид
