Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
rfp = р' _ р = (г' - г') - (Г - г0) = (г' - г) - (г; - г0). (8.2)
Если через vA и Vs обозначить скорости точек Л и В, то г' — г0 = ул dt — перемещение точки А, г' — г = vs dt — перемещение точки В за время dt. Поэтому (8.2) можно записать в виде
dp = (vB — vA)dt. (8.3)
Здесь
vs = v (г) = v (*+?, у+п, z+Q, vA = v (r0) = v (х, у, г).
(8.4)
__ Считая рассматриваемый
х объем т малым, разложим
Рис. 1. функцию v(* + I, у + Г1, 2 + ?)
в окрестности точки х, у, г в ряд Тейлора. С точностью до величин второго порядка малости получим
<8-5»
В проекциях на оси координат
dZ = [
дх
дог
дх
ду
I dv, I
dz
dvz
dz
(8.50
t\dt.
Чтобы выяснить характер относительного изменения положений точек Л и В, преобразуем равенства (8.5'). Сделаем это
26
dvx
гхх~~дх’ "ХУ~ С'УХ~~ 2\ ду dvu
&UtJ -
подробно на примере первого равенства (8.5') ¦
[Idvx 1 / dvx dvu \ 1 / dvx dvz \
'^ГЕ + т(^_ + "а7')Т1 + 2{l7+~dr)^ +
1 / dvx dvy Л 1 / dvx di>2\ 1 ,0 дч
+ ^\ГдГ~~дГ)^ +Y\~dT ~~dr)^\dL (8‘6)
Введем в рассмотрение псевдовектор-вихрь скорости
/ dvz dvy \ г dvx ЙЛ / dvy dvx \
Q=rotv=l(4^7--^rJ + j^-^r-TrJ + k(4^r-^J =
= Qxi + Qyj + Qzk. (8.7)
Обозначим
_ _ _L ( дх>х j_ dVy }
ei/* — T\~dy~ ~'~dx~)’
.„-ж, *-„-№ + %-). м
P о — p - 1 ( dv* I dVx \
Ьгг dz • ьгх «=-« 2 \ dx ^ dz ) '
С учетом (8.7) и (8.8) выражение (8.6) для d.% и соответственно выражения для d*r\ и dt, можно записать в виде
dt = + ъхуг\ + е*г? + у (й^ — ^г1!)] dt,
di] = [ег/*Е + бууТ] + e-yzi + y (йгЕ — Q*?) ] dt, (8.9)
dt, = [егх? ”Ь ezy't\ “Ь &гг? ”Ь 2" (^х1! dt.
Введем в рассмотрение квадратичную форму F = у [е**?2 + еуут]2 + егг?2 +- 2еЛгДт] + 2еугт)^ + 2егх?]. (8.10)
Если занумеровать оси координат, положив ?i = ?, = тп, ?з = ?>
e,fc = e^?ft, то (8.10) можно записать в виде
f-т Е,‘., <8-10')
С учетом введенных обозначе ний равенства (8.9) примут вид
<& = [-|?- + Y(axp)Jtf (* = 1,2,3). (8.11)
Формулы (8.11) можно записать в векторном виде
dp = [grad F Ч-4(ЙХР)]Л. (8.12)
Сопоставляя (8.3) и (8.12), получаем формулу
vB = Уд + j X Р + grad F. (8.13)
27
Для абсолютно твердого тела известна формула vs ='\а -f-+ (о X р- Здесь а — вектор мгновенной угловой скорости, с которой твердое тело вращается относительно мгновенной оси, проходящей через полюс. В случае движения жидкой частицы мы получили более общую формулу (8.13). Слагаемое grad/7 обращается в нуль только тогда, когда все е,* равны нулю, т. е. когда бесконечно малый объем жидкости движется как бесконечно малый объем абсолютно твердого тела.
Формула (8.13)—запись теоремы, которую иногда называют теоремой Гельмгольца.
Скорость точки сплошной среды, принадлежащей бесконечно малому объему, складывается из трех слагаемых: скорости полюса, скорости точки во вращательном движении затвердевшей жидкой частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс А, с угловой скоростью (а — у Я = у rot v, и скорости деформации уд = grad F.
Если обе части равенства (8.13) умножить на dt, то теорему Гельмгольца о разложении скорости можно записать для перемещений
drB = dxA -f dff X P + drK. (8.14)
Здесь dr в = VBdt — поступательное перемещение точки В жидкой частицы; drA—vAdt — перемещение полюса; ??<рХр — перемещение точки В при повороте затвердевшей жидкой частицы
вокруг оси, проходящей через полюс, на угол dq> = у Q dt;
drA = vAdt — деформационное перемещение. Такое представление перемещения точек жидкой частицы в виде суммы перемещений затвердевшей жидкой частицы и деформации единственно.
Итак, при рассмотрении движения точек жидкой частицы оказалось необходимым ввести понятие скорости деформации уд, являющейся потенциальным вектором:
уд = grad F,
где F — квадратичная функция (8.10). Проекция вектора уд
