Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валландер С.В. -> "Лекции по гидроаэромеханике" -> 20

Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.

Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике — Л.: ЛГУ, 1978. — 296 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipoaerogidromehanike1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 110 >> Следующая


^-(Р^) + ^-(ро,) = 0.

42
t0 в соответствующем объеме то- Тогда (1.9) перепишется в виде -jrfflpD \a,~t>fc) dadbdc=\\\q da db dc. (3.1)

*0 тэ

Объем т0 не зависит от времени. Производную можно

внести под знак интеграла. В переменных Лагранжа индивиду-

альная производная вычисляется как частная производная, поэтому равенство (3.1) можно записать в виде

<3-2>

Из (3.2) в силу произвольности объема то будет следовать, что д г Р(х, у, г) ] D(x, y,z)_Q dt LP D (a, b, c) J qD(a,b,c) ’ ^ '

ИЛИ

ф , d - D (x, y, z) ,r, n

?+p?lnB(a;b):=4' (3-4)

Уравнение (3.4)—уравнение неразрывности в переменных Лагранжа в общем случае при наличии источников.

Если q = 0, то

(3-5)

Равенство (3.5) означает, что величина в квадратных скобках не зависит от лагранжевой переменной t, т. е.

D (лс, у, г) _ , Р(х', у', z') ,о

PD(a. b,c)~~Р D (а, b, с) ’ ( '

Равенство (3.6)—уравнение неразрывности в переменных Лагранжа при q — 0. Величины, стоящие слева в уравнении (3.6), вычислены в момент t, справа — в любой другой момент времени t'. Если за момент t' взять момент времени t0, когда х = а, у = b, z = с, т. е. когда декартовы координаты совпадают с координатами Лагранжа, то уравнение (3.6) запишется в виде

D (х, у, г) /о >7\

РЬ(Д,Ь) р0’ (3>7)

или подробнее

Р<а> Ь’ С’ Q в (а, Ь, 3 Ь’ 6')-

Здесь х, у, z — функции координат Лагранжа а, Ь, с, t\ р0 — плотность, вычисленная в момент to.

Если жидкость несжимаема, то р' = р, и уравнение неразрывности, как следует из (3.6) и (3.7), может быть записано в виде

D (х, у, z) _ D (х', у', z') . D(x,y,z)_ ,

D (а, Ь, с) D (а, Ь, с) ’ D(a,b,c) ^ '

43
То, что якобиан сохраняет постоянное значение, равное единице, означает, что объем не изменяется по величине, хотя и может деформироваться.

В случае плоского движения, принимая плоскость движения за плоскость (х, у), можем написать

х = х(а, b, t), у = у{а, Ь, t), z = c.

При этом

D (лг, у, z) D (дг, у)

D (а, Ь, с) D (а, Ь) ’

и уравнение неразрывности запишется в виде

D{x,y) , D (х', у') D (х, у)

- В (а, Ь) ’ ИЛИ Р D(Zrfr = Po-

В случае одномерного движения, когда х = х(а, t), у = си z = с2, уравнение неразрывности будет иметь вид

дх , дх’ дх

Р-^ = Р 1Г' или Р? = Р»'

Укажем на связь между уравнениями неразрывности, записанными в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

Уравнение неразрывности (3.7) в переменных Лагранжа умножим на бто = dadbdc. Получим

р 6т = ро 6т0.

Здесь 6т = д Уь’ dadbdc — элемент объема, в который в

момент времени t переходит элемент объема бто. Последнее равенство можно переписать так:

-|р(рбт) = 0, -|?-6т + р-^-(6т) = 0.

Отсюда 4т- + Ртг4-(6т) = 0. Но ранее было показано, что

ТГ ЧГ (бт) = div v.

Таким образом, получаем уравнение неразрывности в переменных Эйлера.

§ 4. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Для получения уравнения неразрывности в произвольных криволинейных ортогональных координатах поступим следующим образом. Пусть qi, q2, <73 — криволинейные ортогональные координаты и пусть связь между q\, <72, <7з и декартовыми координатами х, у, z задается соотношениями

х = х (qu q2, Чз), y = y(q ь ft. Яз), z = z{qu q2, ft). (4.1)

44
Рассмотрим криволинейный параллелепипед, образованный координатными поверхностями (рис. 5):

q{ — const, + dq{ — const;

q2 — const, q-2 + dq2 = const; (4.2)

q3 — const, q3 + dq3 = const.

Ребра этого параллелепипеда dsu ds2, ds3 есть элементы дуг, соответствующие приращению координат dqь dq2, dq3:

dsi = Н\ dqi, ds2 == H2 dq2, ds3 = H3 dq3. (4.3)

Здесь Hu tf2> H3 — коэффициенты Ламе:

я-л/Ш

(г = 1, 2, 3).

(4.4)

Объем параллелепипеда в предположении ортогональности координат будет равен

dx = dsi ds2 ds3 — HXH2H3 dqx dq2 dq3. (4.5)

Для того чтобы записать закон сохранения массы, подсчитаем изменение массы 6М за время dt внутри элементарного параллелепипеда двумя способами.

1. В момент времени t масса жидкости ДМ в объеме dx равна

AM = р |< ds 1 ds2 ds3 —

Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed