Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Li = l amiani = где 6m„ = |0 при тфП' (7.8)
2. Тензор второго ранга. Рассмотрим два вектора: а и b с проекциями аи а2, а3 и Ьи Ь2. Ь3. Из компонент этих векторов можно образовать таблицу девяти величин
афь аф2, аф3 сп. с12> с13
а2Ь|, аф2, аФз = С2Ь с22> ^23
агЬи афъ аъЬъ СЗЬ ^32) С33
где, очевидно,
cik — афк.
(7.9)
(7.1W
Поставим вопрос: как преобразуются величины с,-* при переходе от одной системы координат к другой?
По определению величин сш имеем для новой системы координат х[, х', х'3:
(7.11)
(7.12)
(7.13)
(7.14)
19
1 <**А-
На основании формул (7.5) можем написать
ai~^m=laimam’ ~
Подставляя (7.12) в (7.11), имеем
С Ik == = i i ®‘im®‘knG'm.bn-
Так как ambn = cmn, to (7.13) можно переписать в виде ' уз уз
Cik t-im — 1 ь-^п — 1 aimakn^mn-
Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение: если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин с;* и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с — ||с,*||— аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга).
Рассмотрим следующие примеры.
1. Таблица
1, о, 0
/ = И6Ы1 = 0, 1, 0
о, 0, 1
образует тензор второго ранга, который во всех системах координат имеет одни и те же компоненты. В этом легко убедиться, применяя формулы (7.5) и учитывая (7.7). Тензор / называется единичным.
2. Как мы уже показали вначале, таблица с = ||с/*||, составляющие которой образованы из произведений компонент двух векторов: л(аи а2, аз) и Ь(6ь Ь2, Ьз), так что с,* = а,Ь*, является тензором. Этот тензор называется диадой, образованной из векторов а и Ь.
3. Пусть компоненты аь а2, аз некоторого вектора а являются функциями
да{
координат X], х2, *з. Легко показать, что таблица ctk, в которой ;
а xk
образует тензор второго ранга, т. е. совокупность частных производных от компонент вектора по координатам образует тензор второго ранга.
3. Тензор любого ранга. Если в каждой декартовой системе координат задана таблица величин с п индексами
\Ci\hh 'nil’ где г’2> •••’ 2’ 3>
и если компоненты этой таблицы при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам
т„
' Д-| Д-i • • • Д-i Ду2 ¦ ¦ • a^n°h v (7,15)
то говорят, что совокупность величин Cix... 1п определяет аффинный ортогональный тензор ранга п (или просто тензор ранга п). Примером тензора п-го ранга является совокупность произведений компонент я векторов.
Формула (7.15), как и формулы (7.5) и (7.14), линейна относительно величин ст т , суммирование в ней идет по вторым индексам, она содержит произведение п направляющих косинусов. С этой общей точки зрения скаляр (величина, не
20
меняющаяся при переходе от одной системы координат к другой) есть тензор нулевого ранга, вектор есть тензор первого ранга.
4. Действия с тензорами.
Сложение тензоров. Если имеются два тензора ранга п:
А — ja,-^ ... гл||, В —! bixi2
то величины
1*2
определяют новый тензор С, который называется суммой тензоров А и В:
С==||с^,з... in ||, С = А-\-В.
Умножение тензора на скаляр. Если имеем некоторый тензор С = ||с;^2... in I ранга п и скаляр а, то совокупность величин |ac/j... jn[I определяет новый тензор ранга п, который называется произведением исходного тензора С на скаляр а:
aC = a||c,,,2...(-JH|aCv2.,.*J.
Умножение тензоров. Если имеем два тензора: тензор А ранга m и тензор В ранга п:
Л = I a*, i2 ... im\,
ВНК/2--//г !!>
то, умножая каждую компоненту первого тензора на каждую компоненту второго тензора, получаем совокупность величин, которые образуют новый тензор С ранга m -f п:
