Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть уравнение поверхности тока
ЗГ (х, у, г, 0 = 0. (6.10)
Направляющие косинусы нормали пропорциональны производ-
д-'Р' дд$~
ным -j^-> ~fcT ’ т- е' вект0Р п параллелен вектору grad^F. Из уравнения (6.9) тогда следует, что
д9~ . дST . ЗУ п ,е , ,л
Vje~dr + Vy~df + Vg^f — 0- (6Л1^
Уравнение (6.11) — линейное уравнение в частных производных
первого порядка для отыскания функции ЗГ (х, y,z,t), где t —
параметр. Характеристики уравнения (6.11) удовлетворяют системе уравнений
dx dy ______ dz . „v
Vx ~~ Vy ~~ vz У • )
Уравнения (6.12) совпадают с уравнениями (6.4) для линий тока, т. е. характеристики уравнения (6.11) являются линиями тока. Для уравнения (6.11) обычно ставят задачу Коши: отыскать поверхность тока, которая проходит через заданную кривую /. Эта задача имеет смысл, если кривая / не является характеристикой. Геометрически поверхность тока обычно строится следующим образом: берут кривую, не являющуюся линией тока, и через точки этой линии проводят линии тока.
Критическая точка — точка потока, в которой вектор скорости равен нулю, т. е. одновременно
vx = Vy = vz = 0. (6.13)
Рассмотрим систему уравнений (6.4) для линий тока. Если в некоторой точке хотя бы одна из составляющих скорости не равна нулю, то в силу теоремы существования и единственности решения для системы (6.4) через такую точку проходит только одна линия тока. Если точка критическая, т. е. выполняется равенство (6.13), то эта точка является особой для системы уравнений (6.4), в ней может нарушаться теорема единственности. Через критическую точку может проходить несколько и даже бесконечно много линий тока.
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕНЗОРАХ
Здесь будем рассматривать трехмерное ортогональное пространство с декартовыми координатами хи х2, х3 с ортами ib i2, 1з- Все результаты этого параграфа легко обобщаются на случай евклидова пространства любого числа измерений.
17
1. В ектор (тензор первого ранга). Рассмотрим две системы координат: х2, х3 и х[, х'2, х'3. Их взаимное располо-
жение характеризуется следующей таблицей направляющих ко-
“mn=C-Jn = co S(x'm,xn), (7.1)
где (х'т, *„) — угол между ортами осей.
Пусть г — радиус-вектор точки с координатами хи х2, *3: г = i 1JC1 + i2x2 + 1зДг3. (7.2)
Проектируя г на оси х\, х'2, х'3, получим формулы преобразования координат х2, х3 в х[, х2, х'3:
Х\ = ац*1 “Ь а12Х2 а13Л'3>
Х2 Ct2l'*'I "I- а22Х2 а23*3’
Х3 = %\Х\ “I” а32*2 a33^3>
или в общем виде
x'm = ZLlWl (m = 1, 2, 3). (7.3)
Пусть а — некоторый вектор, alt аг, а3 — проекции вектора
а на осИ х2г х3. Тогда
а = 1 iflti + 12^2 Ч- Ьаз- (7.4)
Проектируя (7.4) на направления осей х[, х2, х'3, получаем
проекции а[, а2, а'3 вектора а в новой системе
а'т = атха1 + ат2а2 + “тА- (7-5)
ИЛИ
ат = Zf-[ amiai (/Я = 1, 2, 3).
Формулы (7.5) — формулы преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой — мы получили, трактуя вектор как направленный отрезок. Можно, однако, формулы (7.5) положить в основу следующего определения вектора.
Если в каждой декартовой системе координат заданы три числа й\, #2, аз, причем при любом линейном ортогональном преобразовании координат эти числа преобразуются по формуле (7.5), то говорят, что величины аь а2, а3 образуют аффинный ортогональный вектор а = ||а||. В определении присутствует
18
синусов
XI х2 х3
а11 а12 «*13
°21 а22 а2Э
< а31 а32 а33
слово «аффинный», так как преобразование координат линейное, и слово «ортогональный», так как используются только ортогональные преобразования координат. В дальнейшем мы будем использовать только линейные ортогональные преобразования координат, не оговаривая этого.
Если для ортов осей х[, x'v х3 написать выражения через их проекции на оси xlt х2, х3
C = iiami+ ?*„2+ ^“шз (у-6)
и использовать ортогональность ортов \'2, i', то получим формулы, связывающие направляющие косинусы между собой:
I.
г
¦at
+ <* + <
т '"'m 1 a ,a , + a a 0 + a
m n ml n\ 1 m2 ti2 1
i,
= 0 (тф n),
(7.7)
i'm'К
где m— 1, 2, 3; n= 1, 2, 3.
Используя символ Кроиекера 6тп, формулы (7.7) можно записать в виде
„з ( 1 при т = п,
