Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
С = АВ = \\а1{12 ... ijypij/2... /„ 11-
Тензор С называется произведением (тензорным) тензоров Л и В. В том, что совокупность величин сц^ ... tm ¦ bjj2 ... j действительно образует тензор ранга m + п, легко убедиться, применяя формулы (7.15).
Дифференцирование тензора. Пусть компоненты тензора ранга п являются функциями координат xit д:2, х3. Тогда совокупность первых частных производных от компонент тензора по координатам определяет тензир ранга п1, т. е. при дифференцировании по координатам ранг тензора повышается на единицу.
Свертывание тензоров (сокращение индексов). Пусть имеем некоторый тензор ранга п: a = \\aili2... <„||. Выберем у компонент этого тензора два каких-либо индекса ik и im, выберем из всех компонент тензора такие, у которых эти два индекса одинаковы:
21
ik = im = / (/ = 1, 2, 3), и, наконец, просуммируем выбранные компоненты по общему индексу /. Тогда величины
Z3
/ = I al 1 • '*¦ гп
образуют тензор С ранга п — 2, который называется сверткой исходного тензора по индексам ik и im.
Представление тензора в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Тензор второго ранга называется симметричным, если его компоненты не изменяются при перестановке индексов Cik = Cki. Тензор второго ранга называется антисимметричным, если его компоненты меняют знак при перестановке индексов, т. е. с,* = —cki. Общий вид антисимметричного тензора
0, а, Ь
--- а, 0, с
-ь, --- с, 0
При преобразовании координат свойства симметричности и антисимметричности сохраняются. Покажем, что каждый тензор второго ранга || с,*. || может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Пусть дан тензор С = || Cik ||. Образуем новый тензор С* = || cki || и построим тензор, равный полусумме тензоров С и С*:
С\\ 2"(c12+c2l) у (^13 ~Ь c3l)
~2 (с21 ~Ь С1г) С22 "2 (С23 ~Ь С32) •
Y (С31 ~Ь с1з) Y (Сз2 ~Ь ^23) С33
Тензор S симметричен. Положим R = С — 5. Компоненты тензора R будут иметь вид
Rik = ~2 (^ik Cfti)•
Очевидно, что /?,-* = —Rki, Ru — 0, т. е. тензор R антисимметричен.
Таким образом,
С = S + R.
Тензор S называют симметричной, а тензор R — антисимметричной частями тензора С.
Приведем некоторые примеры.
1. Рассмотрим скаляр ф(*ь х2, х3) (тензор нулевого ранга). Совокупность производных первого порядка по координатам
Зф дф дф дхI ’ дх2 ’ дх^
Зф
дхк
S = |(C + C*) =
22
определяет некоторый вектор А (тензор первого ранга). Этот вектор А называется градиентом функции ф
» j . Йф . . Йф , . (Эф
А = grad ф = 1, -rf- + h + 'з —
дх, ' ' дх2 ' дх3
2. Рассмотрим тензор второго ранга, образованный из векторов а и Ь,— диаду
IIе* II = 11 “А II-
Образуем свертку. Для нее имеем
D = ZLl Cii = 2_, а‘Ь‘ = а1&1 + “А + НЬ3-
Таким образом, свертка есть скаляр (тензор нулевого ранга), известный как скалярное произведение а b
3. Рассмотрим тензор второго ранга С = ||с;*|| и единичный тензор второго ранга / = 1!(5,пп||. Умножая каждую компоненту тензора С на каждую компоненту тензора /, получаем тензор четвертого ранга
В = 11В/*тПИ = 1КА.Л
Можно произвести свертывание этого тензора по значкам i и m либо по k и п. При этом придем либо к исходному тензору, либо к тензору с переставленными строками и столбцами.
5. Псевдотензоры. Обозначим через Д определитель, образованный из направляющих косинусов преобразования осей Xu Х2, х3 в оси х\, х', х'. Известно, что
«11 «12 “13
д = «21 «22 «23 = ± 1
«81 «32 «33
Причем Д = 1, если правая (левая) система координат преобразуется в правую (левую), и Д = —1, если правая (левая) система координат преобразуется в левую (правую). Введем теперь понятие псевдотензора.
Если для каждой прямолинейной ортогональной системы координат Х\, х2, х3 имеется совокупность 3” величин hli2-..in преобразующихся по формулам
0,гг ¦ = A Z ¦ Z allт, • • • ainmjmi ... mn (7.16)
m\ mn
в величины ti i i , отвечающие другой системе координат х[, х', х', то совокупность этих величин определяет новую величину
т’Н'м.-а <7л7>
которая называется аффинным ортогональным псевдотензором ранга п.
Из формулы (7.16) видно, что когда рассматривается преобразование правой системы координат в левую (или наоборот), то Д = —1 и компоненты псевдотензора меняют знаки на обратные по сравнению с компонентами тензора. Если же при
23
преобразовании правая (левая) система координат переходит в правую (левую), то различия в формулах преобразования тензоров и псевдотензоров нет (А= 1). Поэтому когда в рассмотрении имеют дело только с правой системой координат, псевдотензоры часто называют просто тензорами.
