Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя (1.2) и (1.5) в (1.6), получаем
И Sр Л+S! (SSS«Л)ш “ S Sjе'dx- (1-7)
Равенство (1.7)—запись закона сохранения масс при наличии пространственно-распределенных источников для конечного объема и конечного промежутка времени.
Дадим интегральную запись закона (1.7) для бесконечно малого промежутка времени. Предположим /' = / + А/. Тогда
(1.7) можно записать в виде
Шр'Л-ШрЛ==д/Ш^т- (L8)
X' X X
Поделив (1.8) на At и устремив At к нулю, получим
-?ШрЛ=И$9</т* (Ь9)
X X
Равенство (1.9)—запись закона сохранения масс для конечного объема для данного момента времени при наличии пространственно-распределенных источников.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МАСС В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА (УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА)
Исходим из записи закона сохранения масс для конечного объема (1.9). Для выполнения дифференцирования воспользуемся полученной ранее формулой (15.6) гл. I, положив в ней А = р:
d_
dt
X
S S Sp d%=S S S [4r+-k{pvx)+-k(pVy)+i(рУг)]d%-(2-1}
Подставляя (2.1) в (1.9), получим
S S S + -h (P"*> + W M + w (pu*} -q]dx== °- (2>2)
40
Равенство (2.2) имеет место для любого объема т. Это возможно только в том случае, когда подынтегральная функция
равна нулю. Таким образом, из (2.2) следует, что
4Н ?<<**>+?«+-?-«=?• <2-3»
Раскрывая в (2.3) производные от произведений и вводя обо-
„ dp
значение индивидуальной производной получаем
-^- + pdivv = ?. (2.3')
Равенство (2.3) есть дифференциальная форма записи закона сохранения массы в переменных Эйлера при наличии пространственно-распределенных источников с плотностью q.
Пусть жидкость несжимаема. Это означает, что плотность в движущейся частице не изменяется, т. е. индивидуальная производная от плотности по времени равна нулю. В переменных
Эйлера это записывается в виде •^¦==0- Уравнение неразрывности (2.3) в случае несжимаемой жидкости примет вид
a dvr dv,. dv, q
divv = —, или -5-------— —. (2.4)
p dx ' dy ' dz р ' ’
В дальнейшем чаще всего будут рассматриваться потоки, не содержащие источников.
Остановимся на рассмотрении уравнения неразрывности в случае, когда <7 = 0. Уравнение неразрывности (2.3) в общем случае запишется в виде
1г + ^г(р^ + ^г(р^) + ^(рИг) = 0- (2,5)
Вводя вектор pv с проекциями ри,, pvy, риг, можно уравнение
(2.5) переписать в виде
|E + div(pv) = 0. (2.50
Из (2.3') получаем наиболее часто употребляемую запись уравнения неразрывности
-g- + pdivv = 0. (2.6)
Рассмотрим запись уравнения неразрывности для частных случаев.
1. Движение установившееся. В этом случае местная производная должна быть равна нулю, т. е. ¦— — 0. Уравнение неразрывности для установившегося движения
¦к(9°х) + -к(^у) + ~{рьг) = 0, или div (pv) = 0. (2.7)
41
2. Жидкость несжимаема. В этом случае -^. = 0. Из (2.6) следует
(2.8)
3. Движение плоское. Движение называют плоским, если существует такая плоскость, что все частицы жидкости движутся параллельно этой плоскости, причем на любой прямой, перпендикулярной этой плоскости, гидродинамические величины имеют одно и то же значение. Принимая эту плоскость за плоскость (х,у), получим, что vz == 0, а все гидродинамические величины будут зависеть только от х, у, t, и, следовательно, производные по z будут равны нулю.
Уравнение неразрывности для плоского движения
Для несжимаемой жидкости
4. Одномерное движение с плоской симметрией. Рассмотрим движение, при котором все частицы движутся параллельно некоторой прямой, причем все гидродинамические величины в каждой плоскости, перпендикулярной этой прямой, постоянны. Если эту прямую принять за ось х, то
при таком выборе системы координат vy= vz =0 и -^-==-^- =
з= 0. Уравнение неразрывности в этом случае будет иметь вид
Кроме движения с так называемой плоской симметрией рассматривают и другие одномерные движения — с осевой симметрией, со сферической симметрией (например, точечный взрыв).
§ 3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА
Исходим из интегральной записи закона сохранения масс
(1.9). От переменных х, у, z перейдем к переменным Лагранжа а, Ь, с, которые определяют положение частиц в момент времени
Если при этом движение установившееся, то
