Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
= Р 1* Н\Н2Н3 dqi dq2 dq3.
В момент времени t + At масса жидкости в том же объеме dx будет
AM' = р \t+dt ds\ ds2 ds3 =
— P lf+df H\H2H3 dqi dq2 dq3.
Изменение массы в объеме dx за время dt
Ш = AM' — AM = (р \t+dt -
— p|t) H1H2H3dqldq2dq3. (4.6)
Из равенства (4.6) следует
dp
6М = -^~ Н{Н2Н3 dq{ dq2 dq3 dt.
(4.7)
2. Изменение массы в рассматриваемом объеме за время dt может быть связано с тем, что есть источники, распределенные в пространстве, и что количество жидкости, которое втекло в объем dx, не равно количеству жидкости, которое вытекло из этого объема.
Введем обозначения:
бт — изменение массы в объеме dx за счет источников;
45
Smi — изменение массы в объеме dx за счет того, что через грань A'B'C'D' могло вытечь не такое количество жидкости, которое втекло через грань ABCD;
8т2 — изменение массы за счет протекания через грани
AA'D'D и В В'С'С;
8т3 — изменение массы за счет протекания через грани
АА'В'В и DD'C'C.
Общее изменение массы бМ
б М — 6 m + + б т2 + бт3. (4.8)
По определению величины q имеем
bm = q dxdt — qHxH2H3 dqx dq2 dq3 dt. (4.9)
Подсчитаем 6mi, 8m2, бтз. Для этого обозначим через v\, v2, v3 проекции скорости жидкости на оси qu q2, q3. Через грань
ABCD в объем dx за dt поступает масса жидкости
= (р ds2 ds3Vi dt) |?i = (рvlH2H3) |?i dq2 dq3 dt.
Через грань A'B'C'D'за. то же время вытекает масса жидкости
ЬМ[ = (р ds2 ds3vl dt) = (ро,Я2#3) dq2 dq3 dt.
Интересующая- нас величина
ta, - ш, - ш\=[(po,»A) - ИВД) LJ db <“ =
= ~-^i9a.H.H,\dq,dq1dq,dt. (4.10)
Аналогично получим
бm2 = — -J^(pv2HiH3) dqx dq2 dq3 dt; (4.11)
6 m3=--j^ (py3 HXH2) dq\ dq2 dq3 dt. (4.12)
Общее изменение массы бМ получим, подставив (4.9) — (4.12) в (4.8):
Ш = [- Ж ^Н2Н3) - (р^Я.Яз) - (рОзЯ.Яг) +
-(- qH\H2H^dq\ dq2dq3dt. (4.13)
Сравнивая два выражения (4.7) и (4.13) для бМ, получаем уравнение неразрывности в криволинейных координатах
Я,Я2Я3-^ + (QViH2H3) + ^ (ро2Я,Яз) +
+ ^-(pv3HlH2) = qHxH2H3. (4.14)
Рассмотрим частные случаи.
46
а) Декартовы координаты х, у, г. Здесь
<7i = *. <7г = <Л <7з = г; Я, = Я2 = Я3=1.
Уравнение (4.14) примет вид
If + -|Г(ро*) + -^-(ро») + -Й-(рог) = ^ (4.15)
б) Цилиндрические координаты (г, 0, г). Здесь
<7i = г, <7г=0. ft = г; vi = vr, v2 = v0, v3 = vz.
Связь между цилиндрическими и декартовыми координатами имеет вид
;e = rcos0, y = rsin0, z — z.
Коэффициенты Ламе, вычисленные по формулам (4.4):
H, = Hr = 1, Я2 = Яе = г, Я3 = Я2=1.
Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах запишется в виде
r^- + -§r(Pvrr) + -§Q-(pve) + (pvzr) = qi-. (4.16)
в) Сферические координаты (г, 0, Я). В этом случае
<7i = г. <72 = 9> <7з = ^; v{ = vn v2=ve, v3 = vk;
x = r sin 0 cos Я, y = rsin0sinA, z = r cos I.
Коэффициенты Ламе Яt — Яr = 1, Я2 = Я0 = г, Н3 — Нх = г sin 0, Уравнение (4.14) в сферических координатах примет вид
г2 sin 0-^- + -|г (purr2 sin 0) + (pu0r sin 0) +
+ -^-(ptv) = <7>'2sin0. <4Л7
Обратимся к общему уравнению (4.14). Будем дифференцировать произведения, отделяя множители, содержащие р, и разделим затем все члены на Я1-Я2-Я3. Получим
др . Pi др . v2 др , Vz ар .
dt Н1 dq| Н2 dq2 Н3 dq3
++-?г, (-зя.я,)]-,
(4.18
Рассмотрим первые четыре слагаемых и учтем при этом (4.3)
_?р , у3 Л±_ _^Р_ = , у3 аР =
dt Zj< = 1 Ht dqt' dt 2-ii=\ ‘ dst
dp r-13 ^p ds.
. j. V ___________________L--------- (4 19
dt ~ Lai=i ds. dt ~~ dt ' v
4
Подставляя (4.19) в (4.18), получим уравнение неразрывности в виде
1 + TrhnVk^W*'! +4г,^н'н>) + ^5Г
(4.20)
Сравнивая уравнение (4.20) с уравнением неразрывности, записанным в инвариантной форме (2.6), заметим, что в криволинейных координатах
№’-77жяг[ж(”'ад) +-55-<”>«.«*> +
(4.21)
ГЛАВА III
ЗАКОН КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Закон количества движения для системы материальных точек устанавливает связь между изменением количества движения и силами, которые вызывают это изменение. При рассмотрении движения жидкости в отличие от движения системы материальных точек приходится иметь дело с силами, непрерывно распределенными по объему или по поверхности.
