Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(8.15). Скорость деформации уд будет определена для любой точки (при известных g, rj, ?) частицы, если задана таблица (8.17). Выясним физический смысл величин ег* — компонент тензора скоростей деформаций (8.17). Рассмотрим частные случаи.
1. Пусть Ехх ф 0, все остальные е** = 0. В этом случае тензор
ег, 0 0
0 0
0 0
(10.1)
Формулы (8.15) примут вид
®лх = ®яу ^дг :
0.
(10.2)
Таким образом, тензору (10.1) соответствует однородное растяжение (ехх > 0) или сжатие (ехх < 0) объема вдоль оси
х (рис. 2). Из (10.2) следует, что
_ J>ax
— скорость растяжения
(сжатия) элементарного объема вдоль оси х, приходящаяся на единицу длины. Аналогичный смысл имеют еуу и егг. Итак, диагональные элементы тензора скоростей деформаций — относительные скорости равномерного растяжения элементарного объема вдоль координатных осей.
2. Пусть теперь вху — еух ф 0, все остальные = 0. Тогда
1>ДХ
Рис. 2.
Соответственно
0 ?ху 0
8 = еух 0 0
0 0 0
‘ Ejcj/T],
¦'ay
= 0.
(10.3)
(10.4)
Отсюда видно, что точки оси т](? = 0) испытывают сдвиг в направлении оси пропорциональный расстоянию г), точки оси ?— сдвиг в направлении оси г) (рис. 3). Таким образом, имеет место скашивание прямого угла (в данном случае между осями 5 и г)). Составляющие
vax vR у
~~~т~
еху еух -----------
31
имеют смысл скорости скашивания прямого угла. Аналогичный смысл имеют другие боковые компоненты (8.17). В общем случае, когда тензор Т имеет вид (8.17), деформацию элементарного объема можно представить как суперпозицию деформаций растяжений (сжатий) относительно трех координатных осей и деформаций сдвига. Если тензор скоростей деформаций отнесен к своим главным осям §, rj, ?, то скорость деформации будет иметь проекции
ад* = е,|, vay — e2fi, vaz = e3l. (10.5)
Таким образом, самая общая деформация частицы может быть представлена как деформация растяжения относительно трех главных осей деформации.
Из (10.5) следует, что если | уд ] =¦ 0, то ei = ег = е3 = 0. Это значит, что отсутствие деформации соответствует нулевому тензору (в главных осях). Но если тензор нулевой в главных
осях, то он будет нулевым и во всех других осях, т. е. из |ид| = 0 следует, что zik ~ 0. Очевидно, что в этом случае и все инварианты тензора е равны нулю: /1 = /2 = /з = 0.
§ 11. СМЫСЛ КОМПОНЕНТ ВИХРЯ СКОРОСТИ
УДХ
j ЦВ § 8 мы установили, что скорость
'I любой точки жидкой частицы может
Ед"*"* * Т 1 I J I I-быть представлена в виде
Рис- 3- vB = vA + у Я X Р + Уд,
где vа — скорость полюса; уд— чисто деформационная скорость;
-^ЯХр—скорость точки во вращательном движении затвердевшей жидкой частицы с угловой скоростью у Я.
Вектор ?2 == rot v = 2о) — удвоенная угловая скорость, с которой затвердевшая жидкая частица вращается вокруг оси, проходящей через полюс. Проекции вихря скорости
doy dvx _
дх ду
Проекцию вектора угловой скорости на какую-либо ось можно одновременно рассматривать как угловую скорость вращения
32
относительно этой оси. Поэтому Проекции вихря скорости есть удвоенные угловые скорости, с которыми затвердевшая жидкая частица вращается вокруг осей, параллельных осям координат.
§ 12. ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ, ВИХРЕВЫЕ ТРУБКИ
Как было установлено, в общем случае объем жидкой частицы при своем движении деформируется и поворачивается, как
эту совокупность вращающихся частиц, вводят понятие вихревых линий. Вихревой линией называется линия в данный момент времени, касательная в каждой точке которой совпадает с направлением вектора вихря Q в этой точке. Записывая условие коллинеарности элемента вихревой линии dr и вектора Q, получаем дифференциальные уравнения вихревой линии
Если взять кривую АВ, не являющуюся вихревой линией, и через каждую ее точку провести вихревую линию, то получим вихревую поверхность. Вихревые линии, проведенные через точки замкнутого контура, образуют вихревую трубку. Если замкнутый контур малый (бесконечно малый), то вихревую трубку называют элементарной трубкой, или вихревой нитью.
Возьмем в жидкости некоторую кривую /. Пусть v — скорость частиц жидкости в точках этой кривой, vi — проекция v на касательную к ней. Циркуляцией скорости по некоторой кривой А В называется вычисленный вдоль этой кривой интеграл
где dr — вектор перемещения вдоль кривой |dr| — dl. Так как
vcos(v, dr) dl — v • dr, то выражение для Г часто записывается в виде
Если контур замкнутый (точки А и В совпадают), то используют такую запись:
целое, с угловой скоростью уС2. Чтобы лучше представить себе
