Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая это, приходим к равенству
,15'4)
х х'—х
Преобразуем второе слагаемое в (15.4) так, как это уже делали в § 14.
Элемент dx объема х' — т выберем в виде dx — dSAti = = dSvnAt. Тогда
A' dx = At^A'vndS.
%'-х S
Равенство (15.4) можно теперь записать в виде
Д/ = Д^$^т + Д^ A'vndS.
1 s
36
Разделим обе части на Д/ и устремим Д/ к нулю. При этом А'
перейдет в Л, и мы получим
г 5
Как обычно, преобразуем интеграл по поверхности к интегралу по объему:
^ ^ Avn dS — ^ Л [vx cos (п, х) + vy cos (п, у) + vz cos (п, г)] dS —
= S S S Ыг ^+w {Avy]+-к (AvA dx¦
X
Таким образом, для производной получим выражение
X
= S И Вт + -k «<•*> + w (At,‘] + -k (|56)
X
Подынтегральное выражение можно преобразовать к другому виду, раскрывая производные от произведений:
4г + Ж ^AVx) + W{AVy) + к(Лс>г) =
дА , дА . дА . дА ,
Z=~df+Vx^7 + V«'df + V+
/ dvx dvu dv, \ dA
+ АЫ + ж + -дг)-чг + А^^
Соответственно равенство (15.6) примет вид
л div v]rfT- <15-7)
X т
2. Вычисление в переменных Лагранжа.
Рассмотрим объем т выделенной массы жидкости в момент t. Координаты частиц этого объема можно записать в виде
х = х(а, Ь, с, /), у = у{а, b, с, t), z~z(a, b, с, /),
где а, Ь, с — координаты этих частиц в момент времени /0, когда декартовы координаты совпадали с координатами Лагранжа х = а, у = b, z = с, а объем т занимал объем то-В интеграле (15.1), который нужно дифференцировать, перейдем от переменных х, у, z к переменным Лагранжа. Тогда
I С f f л D (х, у, г) пео\
Но в этом случае объем интегрирования то постоянен для всех моментов времени, и можно дифференцировать под знаком интеграла. Таким образом,
Сделаем переход в правой части равенства от переменных а, Ь, с к переменным х, у, z, учитывая при этом, что
Р(д, ь, с) __ Г D (х, у, z) I-1 D (х, у, z) Yd (а, Ь, с) \
Тогда получим
dj_
dt
D (х, у, z) D (а, Ь, с)
•J da db dc.
X хй
Р(х, у, z) D(a, b, с)
(15.9)
t X
ГЛАВА II ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАСС
Одним из основных законов механики является закон сохранения масс. Это физический закон, справедливый для движений, происходящих со скоростями, незначительными по сравнению со скоростью света. В этой главе будут получены различные математические формы записи этого закона.
§ 1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МАСС
Рассмотрим в момент времени t некоторый объем жидкости т, ограниченный поверхностью 5. Обозначим через М массу жидкости в этом объеме. Частицы жидкости, находившиеся в момент t в объеме т, перемещаясь, заполнят в момент t' объем т' с массой М'.
Предположим, что в процессе движения жидкости нет ни возникновения, ни исчезновения массы; тогда закон сохранения массы запишется в виде
М = М'. (1.1)
По определению плотности р масса в объеме dx равна dm = = pdx. Масса в объемах гит' соответственно будет
(1.2)
X X'
Закон сохранения массы примет вид
SSSpdx==SSSp/dT’ (1-3)
X х'
или
0.4)
X
Предположим, что в пространстве, заполненном движущейся жидкостью, имеются пространственно-распределенные источники.
Пусть в объем dx в течение промежутка времени dt за счет источников поступает масса жидкости dm = qdxdt, Здесь q имеет смысл поступающей за счет источников массы жидкости, отнесенной к единице объема и единице времени. Поэтому величину q можно назвать плотностью источников.
Масса жидкости, которая в момент t находилась в объеме х, будет изменяться во время движения. За время dt она получит
39
приращение Am = dt^^q dx. За конечный промежуток вре-
X
мени от t до /' приращение массы будет равно
длН!’(Ш‘"гт)л- (1-5>
Теперь можем записать
М' — М + Ш. (1.6)
