Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валландер С.В. -> "Лекции по гидроаэромеханике" -> 17

Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.

Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике — Л.: ЛГУ, 1978. — 296 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipoaerogidromehanike1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 110 >> Следующая


dx ____________ dy ___________ dz

fljj ?2 у

§ 13. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ

J A J А

Направление обхода должно быть указано.

2 Зак, 1031

33
Теорема Стокса устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутой кривой и интегралом по поверхности, ограниченной этой кривой. Применяя теорему Стокса к циркуляции Г, получаем

v • dr = ^ (rot v • n) dS = ^ Q„ dS.

I s s

Интеграл ^ (Я • n) dS — ^ Q„ dS называют потоком вихря

S ,S

через поверхность S.

§ 14. СКОРОСТЬ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим в момент t некоторую массу жидкости в объеме т, ограниченном поверхностью S. В момент t + At та

же масса жидкости будет занимать объем х', ограниченный поверхностью 5'. Скоростью объемного расширения жидкости в данной точке называется предел

Vji АЬ

I — lim ¦

Рис. 4.

Величина

т->о

дг-*о

т Д/

(14.1)

есть относительное при-

ращение объема в единицу времени. Вычислим величину /, определяемую формулой (14.1). Имеем

T'-T==SSSdx~SSSdT==SSSdT- (R2)

Так как At мало, то объем т'— т представляет собой тонкий слой между поверхностями S и S'. Тогда элемент объема dx можно взять в виде (рис. 4)

dx = ds An = dS • vn • At,

(14.3)

где An — расстояние по нормали между поверхностью S и поверхностью S', в которую перешли точки поверхности S за время At; vn — проекция скорости точек поверхности S на внешнюю нормаль к ней. Теперь х' — т можем записать в виде

Х'—Х

х' — х — At ^ vn dS и

И"-

dS

I — lim

т-*о

(14.4)

34
Разделим обе части на At и устремим М к нулю. При этом А'

перейдет в Л, и мы получим

Av»ds- (15-5)

т S

Как обычно, преобразуем интеграл по поверхности к интегралу по объему:

^ ^ Avn dS = ^ A [vx cos (п, х) + vy cos (п, у) + vz cos (п, г)] dS —

=И 5 Ыг {Av*]+w{Av^+-k d%¦

X

Таким образом, для производной получим выражение

чг=чг\\\Айх =

X

- S И [4f+-к +w {М‘)+?¦ (/1”J]л- (156)

т

Подынтегральное выражение можно преобразовать к другому виду, раскрывая производные от произведений:

4г + Ж (AVx) + W+ 17 (Лиг) =

дА . дА . дА . дА .

:=W + Vx'd7 + Vy~di + +

(dvx dvu dvz \ dA

-эГ + ИГ+-ёГ)=11Г + А^*-Соответственно равенство (15.6) примет вид

(15-7)

d

dt

2. Вычисление в переменных Лагранжа.

Рассмотрим объем т выделенной массы жидкости в момент /. Координаты частиц этого объема можно записать в виде

х = х(а, Ь, с, t), у = у(а, b, с, t), z = г (а, Ь, с, t),

где а, Ь, с — координаты этих частиц в момент времени t0, когда декартовы координаты совпадали с координатами Лагранжа х — а, у = Ъ, z = с, а объем т занимал объем то-В интеграле (15.1), который нужно дифференцировать, перейдем от переменных х, у, z к переменным Лагранжа. Тогда

/ Г f f л D (х, у, z) /тс о\
в различных точках. Интеграл есть функция времени / = /(/). Нас будет интересовать величина

-3Т = 4г\\\лл'- <15-2>

т

Получим выражение для производной ¦— в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

1. Вычисление —¦ в переменных Эйлера. Рассмотрим два близких момента времени t и t' = t -f At. Для момента времени t сохраним введенные обозначения: А(х,у,

z,t)=A, I(t) — I. Значения всех функций в момент t'=

= t -f Д^ будем отмечать штрихами. Таким образом,

/=^лл,

т х'

При малых At можем записать

/'=^J + (15.3)

т х'—х

д/ = /'-/=^ (А'- A) dx + \\\A' dx.

х х'—х

Подынтегральная функция А' — А вычисляется в точках, принадлежащих объему т, но А вычисляется в момент t, а А' — в момент f — t + At. С точностью до малых более высокого порядка

A'-A = ^j-At+ ...
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed