Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
9 А. Уинтнер
130
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Разумеется, тп чисел Xi, ..., Xm, называемых характеристическими
показателями системы (li), определены только с точностью до целых
кратностей 2яг/т. Два характеристических показателя считаются равными,
если их разность равна целой кратности 2яг/т. В частности, Sj = 1 тогда и
только тогда, когда Xj = 0 (или Xj = 2яг/т), a Sj = -1 тогда и только
тогда, когда Xj = = ni/x.
Если |sj| = 1, то такой мультипликатор (вещественный или комплексный) и
соответствующий ему характеристический показатель Xj принадлежат к
устойчивому типу. В соответствии с (8) это будет тогда и только тогда,
когда Xj - чисто мнимое число (включая 0). Из (8) также видно, что в
случае вещественного Xj и т > 0 имеем Xj > 0, Xj = 0 или Xj < 0, если Sj
> 1, Sj = 1 или 0 < Sj < 1 соответственно. Следовательно, в тех случаях,
когда Xj не может быть выбрано вещественным или чисто мнимым, то или Sj <
0 или Sj = dj + ibj, где aj ф 0, bj ф 0 вещественные. При этом из (8)
видно, что Sj < 0 тогда и только тогда, когда мнимая часть Xj равна яг/т.
§ 144. Поскольку Г.у можно заменить любой матрицей вида (7), то можно
предположить, что фундаментальная матрица X(t) системы (1[) выбрана так,
что соответствующая матрица монодро-мии Гх имеет нормальную жорданову
форму. Тогда диагональные элементы матрицы Г* равны мультипликаторам sj,
..., sm, а элементы, располагающиеся по линии, параллельной диагонали и
граничащей с нею сверху, равны 0 или 1 (возможно, только 0 или только 1);
все же остальные элементы равны нулю. Пусть s - один из мультипликаторов
Sj, и пусть его кратность равна/(^г 1). Тогда можно предположить, что
первые I диагональных элементов матрицы Гх равны s. Пусть s принадлежит
при этом различным элементарным делителям с кратностями hi, ..., hd
соответственно, так что h\ + ... + hd - I, причем I ^ 1, d, ^ 1 и любое h
^ 1. Предположим, что первая клетка рассматриваемой матрицы Гх (имеющей
жорданову форму) соответствует кратности h\. Тогда, если обозначить через
h(t), ¦¦¦, ?>m(t) m-векторы, составляющие столбцы m-матрицы X(t), то из
(5) видно, что
Ei(t + T)=sE1(t), (9i)
lg(t + т) = ^g-i(t) + s?g(0> g=2,...,hu (9г)
причем в случае простого элементарного делителя (hi = 1) сохраняется
только (9i). Из (8) же следует, что (9i) -(9г)
§§ 137-154. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
131
эквивалентны формулам
?i(f)= eM(pn{t), (10i)
в
lg(t) = eM'Z-tk-14>gk{t), g=2,...,hu (102)
к=1
где Я - соответствующий мультипликатору s характеристический показатель,
фgh(t) -некоторые пг-вектор-функции t, имеющие общий период т, и Фgg(t) Ф
0 при g = 1, .. . , h\. Рассматривая далее аналогичным образом все
остальные из d- 1(^0) клеток в Г*, которые соответствуют
характеристическому числу s, а также клетки, соответствующие различным
Sj, j = 2, ..., т, придем к следующим результатам.
§ 144а. Число s = е)л является мультипликатором системы (li) тогда и
только тогда, когда эта система обладает решением вида t,(t) =eu<p(t),
где ф(0 -периодическая функция t, имеющая общий с A (t) период т и ф (?)
Ф 0.
Общее решение системы (li) представляет собой линейную комбинацию т
линейно независимых решений вида eu<p(t) тогда я только тогда, когда все
элементарные делители группы монодромии простые. Если по крайней мере
один из элементарных делителей кратный, то в общем решении системы
(li) появляются
"вековые" члены, т. е. члены, содержащие наряду с
периодиче-
скими или показательными функциями ? рациональные полиномы по t. Если
кратность такого элементарного делителя равна h ^ 2, то наивысшая степень
полиномов по ?, появляющихся в общем решении, равна h - 1.
§ 145. Пусть A(t) не зависит от t. Тогда (li), (2i), (I2) перепишутся в
виде *)
= А\ (А = const), (Ilf)
R(t) = etA, (11a)
E(0=*"E(0). (Из)
Так как условие A(t + т) = A(t) удовлетворяется при А = = const для
любого т и так как функции Фг&(?) в (10ij, (Ю2) имеют период т, то они -
постоянные.
Характеристические показатели Я, определявшиеся для (10i) - (IO2) с
точностью до целых кратностей 2я?/т (см. § 143), в данном
*) Действительно, из (22) мы получим тогда, что Dk(t) = - Сло-
довательно, (112) совпадает с определением ев в § 57, если положить В -
tA.
9*
132
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
случае определяются уже единственным образом, так как величина 2jh /т
тогда произвольна.
Фактически X 1, . . ., тп являются не чем иным, как характе ристическими
числами матрицы А (см. § 89).
Вместе с тем группа монодромии, а следовательно, и совокупность
мультипликаторов si, ..., sm никак не определяются, поскольку т в (5)
теперь произвольно.
§ 146. Пусть дано некоторое решение x = x(t) системы х'- = f(x).
Соответствующую систему Якоби (8) § 85 отождествим с (li) § 137. Тогда
(10) § 85 показывает, что фундаментальная матрица (2i) § 137 совпадает с
матрицей (7) § 85. Этот факт имеет в силу (6) § 85 большое значение в
приложениях.
§ 147. Предположим, в частности, что данное решение х = x(t) системы х' =
