Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
JR'(t) = A(t)R(t).
Дифференцируя определитель det R(t), получим далее, что
(detjR)' = (detЯ) (tr4).
Это доказывает (1з), поскольку 7?(0) =Е в силу (2i) - (22).
§ 138. Матрица X(t), столбцы которой составлены из т, линейно независимых
решений ?(?) системы (li), называется фундаментальной матрицей этой
системы. Очевидно, что
X'(t) = A (t)X(t), detX(i)=5tU.
Следовательно, другая m-матрица Z(t) будет фундаментальной для (li) тогда
и только тогда, когда существует постоянная матрица С такая, что Z{t) =
X(t)C и det С Ф 0 (принцип суперпозиции). Поскольку R (t) = A(t)R(t) в
силу § 137 и поскольку определитель det.ff(i), определяемый согласно
(1з), не может обращаться в нуль, то R (t) является фундаментальной
матрицей. Таким образом, для определения фундаментальной матрицы X{t)
системы (li) может быть использована любая из двух эквива-
лентных друг другу формул
X'(t) = A(t)X(t), detX(i) Ф 0, (3i)
X(t) = R{t)C, det C=r= О (R(0) = E), (32)
где С - неособенная постоянная матрица, определяемая единственным образом
в зависимости от X(t). Действительно, поскольку
128
ГЛАВА И. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
det.ff(i) ф 0 в силу (13), то С = R~lX. Из (32) и (12) также видно, что
detX =/= 0 при всех t, так что если т. решений ?(?) си~ стемы (li)
линейно независимы при одном t, то они также линейно независимы при всех
t.
§ 139. Пусть X(i) -фундаментальная матрица системы (li) и С - некоторая
неособенная постоянная матрица. В силу изложенного в § 138, умножая X(t)
на С, придем к другой фундаментальной матрице Z(t) - X(t)C системы (li).
Вместе с тем умножение С на X(t), т. е. переход от X(t) к Y (t) =CX(t),
соответствует линейному преобразованию системы (li) и переходу от (li) к
системе Y'(t) = САС~1 Y(t). Мы получим, таким образом, следующие формулы:
Y'(t)=B{t)Y(t), (40
B(t) = CA(t)C~l, (4*)
Y(t)=CX(t). (4з)
Очевидно, приведенные выше соображения остаются справедливыми и в случае
комплексных А (t), С. Матрицу А (t) будем предполагать, правда, всегда
вещественной, но если некоторая вещественная матрица, определяемая в
зависимости от A(t), имеет комплексные характеристические числа, то
матрицу С удобнее выбирать комплексной (см. § 144).
§ 140. Допустим, что матрица A(t) в системе (li) непрерывная
и периодическая при -оо <; t < +00, так что A (t) = A {t-\-i).
Предположим, что период т, определяемый вообще не единственным образом*),
фиксирован. Так как система (3) не изменяется, если вместо t
положить t + т, то если X (t) - фундаментальная
матрица системы (li), то Х(? + т)-также фундаментальная
матрица этой системы. Из изложенного в § 138 поэтому следует, что для
любой фундаментальной матрицы X(t) системы (li) существует неособенная
постоянная матрица Г = Гх такая, что соотношение
Х(* + т)=Х(*)Гх (5)
удовлетворяется тождественно. Матрица Гх называется матрицей монодромии,
соответствующей фундаментальной матрице X (t) (и заданному периоду т
матрицы А). В частности,
Г* = Д(т), (6)
так как.Д(0) = Е в силу (1г).
*) Любая величина, кратная т, также представляет собой период.
§§ 137-154. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
129
§ 141. В соответствии с изложенным в § 138 наиболее общая фундаментальная
матрица системы (li) имеет вид X(t)C, где С = = const и det С ф 0.
Матрица монодромии Г^с для X(t)C равна согласно (5)
Тхс = С-*Г*С. (7)
Пусть Г - постоянная матрица монодромии для некоторой фундаментальной
матрицы системы (li). Тогда какая-либо другая постоянная матрица
монодромии для некоторой другой фундаментальной матрицы системы (li)
представляется обязательно в виде СГС~1 (С - некоторая постоянная
неособенная матрица), т. е. имеет те же самые характеристические числа и
те же элементарные делители (инвариантные множители), что и матрица Г.
Эти характеристические числа (с соответствующими кратностями) и
элементарные делители называются инвариантами группы монодромии для
системы (li), причем эта группа определяется согласно (7) в зависимости
от фиксированного периода т матрицы A{t) (см. (5)).
§ 142. Характеристические числа матрицы Гх (не зависящие от выбора X(f))
называются мультипликаторами *) системы (li) по отношению к периоду т. Ни
один из этих мультипликаторов не обращается в нуль, так как их
произведение равно det Г в соответствии с уравнением det (s? - Г) =0, где
detT#0 в силу (5), (7).
Поскольку мультипликаторы могут быть определены как характеристические
числа матрицы (6), вещественной в силу
(2i) - (2г), то очевидно, что комплексные мультипликаторы встречаются
лишь парами (сопряженными). Такое же замечание относится и к элементарным
делителям, соответствующим комплексным мультипликаторам.
§ 143. Обозначая мультипликаторы системы (li) через Sj, j = 1, . . ., тп,
и учитывая, что любое Sj ф 0, введем в рассмотрение тп чисел Aj, / = 1,
..., тп, соответствующих данному периоду т, полагая
= (8) X
так что
Sj=eV(# 0), j= 1,... л m.
*) Их называют также часто корнями характеристичного (или
характеристического) уравнения. {Прим. перев.)
