Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
коэффициентами gih, /\ V, зависящими только от Я = (Я^, причем
~'ZQgih(q)PiPh > 0, если 2Pi^O, (81)
т= ^ 2 2 (Pi - fi) (р* - М eih- (Ь)
Формулы (81), (82) эквивалентны (2\) в силу (4).
140 ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Наконец, из (4), (5), (6), (82) вытекает, что (3) и (7) можно переписать
в виде
Н(р, д) - h, (9i)
H(p,q)=T-U(q), (92)
где Т = Т (р, q) в силу (82).
§ 158. Из (5) видно, что для обратимой системы (см. § 156) не только (fi)
= (0), но и (/') =(0). В силу (4) обратимая система характеризуется также
соотношениями
Lq,.= Pi = У, qikqh, т. е. Нр. ее= д[ = 2 gihPk (10)
или (в силу (3), (7), (82)) также
L(q',q)=T + U, (llt)
Н (р, q) = Т U, (112)
2 2 Sihq'i q'h = 2Т = 2 2 8ikPiPh¦ (Из)
Из (6) далее ясно, что условие (/') = 0 эквивалентно равенству
U = V. В соответствии с (Иг) уравнения Гамильтона
qi = HP., pi = H4i (12)
сводятся к следующим:
q% = Pi = Uq. Tq^x
где
Г =42 2Я*(<?)№. U=U(q).
Поскольку 2 /Ji^'p. = 27', из (12) и из (10) видно, что
(2р^У=- У1ЧЛТч-ич.) + 2Т, (130
2 PiQi= 22 gikqiqii- (13г)
§ 159. В частности, если все gih = gih(q\, ¦ ¦ ¦, qn) суть
однородные функции некоторой степени а, то, поскольку
{gih)~l = (gik),
гамильтонова кинетическая энергия
Т = J 2 8ikPiPh
является однородной функцией координат qi,... ,qn степени - а,
§§ 155-166. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И ЛАГРАНЖА
141
так что ^qiTqi - - аТ. Формулы (13j) - (132), (9t) - (92) показывают
тогда, что соотношение
(2.2 = (а + 2) (U + h) + 2,QiUq, (14)
удовлетворяется тождественно по t вдоль любого решения q = = q{t) с
постоянной энергии, равной h *).
В важном частном случае а = 0 правая часть (14) может быть записана в
виде
2(U + h)+'21qiUq., (150
или
(Р + 2) ?7 + 2АЛ (152)
или
2(?/* + Л)+2^?79*. (153)
в зависимости от того, является ли функция ?7 = U(q\,..., qn)
произвольной, однородной некоторой степени (3 (например, ?7 = 0) или
такой, что существует Z7* = ?7*(gi, ..., qn), для которой ?7 - ?7*
является однородной функцией степени (3 = -2.
Если а произвольно и ?7 - однородная функция степени |3 = -а - 2 (в
частности, ?7 = 0), то (14) показывает, что система уравнений \С[Ч = 0
имеет, кроме интеграла энергии (3), еще интеграл **)
2,2^9<9* 8ihq>i ^ ~ г7)= const (16)
(Р = -а-2).
*) Тождество (14) имеет значение в статистической механике ("теорема о
вириале").
**) Если любая производная Uqi является однородной функцией степени у = -
1 (для этого достаточно, но не необходимо, чтобы функция V была
однородной функцией степени р = 0), то система уравнений [L], = 0
обладает интегралом = const (если только не все U4i обращаются тож-
дественно в нуль). Этот результат справедлив и тогда, когда коэффициенты
qih в (1) не являются однородными функциями некоторой степени а, а также
в случае необратимости системы. Действительно, поскольку
F = - S gkFqlc'
где F = U"i, то и, следовательно.
142
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 160. Предположим, что U(gi, qn) - однородная функция
некоторой степени Р, или же что все производные Uqi (q) суть однородные
функции одной и той же степени у( = Р - 1)- Последнее предположение
является, если Р = 0, более общим. Пусть далее все gih не зависят от q,
так что уравнения (12) сводятся к следующим:
Vi = 2 gihPh, Pi = U4.
ИЛИ
q"=Ki(q),
где
*,-= 2*№k-
Так как все Ki - Ki(q, ..., qn) являются однородными функциями одной и
той же степени у, то естественно искать пару фиксированных скалярных
функций u = u(t), v - v{t) времени t, которые обладают тем свойством, что
если qi = 9*(0 - какое-либо решение уравнений движения q" - Ki{q), то gi
= - v(t)qi(uh)) - также решение этих уравнений ("динамическое подобие").
Будем предполагать, что функции и = u(t), v = v(t) имеют непрерывные
вторые производные v"(t) и что v (t) > 0,
и'(t) > 0. В частности, можно принять и = u(t) за независимую переменную
вместо t, так что t = t(u).
Поскольку все Ki- однородные функции степени у (= Р - 1), легко можно
установить с помощью непосредственной подстановки, что еслидг = qi{t) -
некоторое решение системы q" = Ki(q), то qi = v(t)qi(u(t)) будет решением
этой системы тогда и только тогда, когда соотношение
^dzqi/dt\3 dl{vqi) dt d(vqt) d4
du? \duj du2 du du du.2 '
где t = t(u) удовлетворяется тождественно по и. Сравнивая же
diqi
далее коэффициенты при ^ . (/ = 0,1,2), получим, что две
функции и, и переменной t обладают желаемым свойством по отношению к
решению qi = qi(t) системы q" = Ki в том случае, если две функции t, и
переменной и удовлетворяют следующим
§§ 155-166. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И ЛАГРАНЖА
143
трем условиям:
(170
(170
(170
2vi - v'i = 0, vi - tv = О,
где точками обозначается дифференцирование по и.
Из (17з) вытекает, что отношение v/i равно постоянной величине, например
с. Дифференцируя далее (171) по и и подставляя получающееся выражение для
i в (17г), видим, что поскольку Р = у + 1, то три условия (17*) для двух
функций t(u), v(u) эквивалентны следующим:
Выберем постоянную интегрирования с равной нулю. Тогда из (18з) следует,
