Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
тогда и только тогда, когда все ЕР^д*/ = 0. Для произвольного решения q =
g (f) последнее условие будет иметь место тогда и только тогда, когда все
= 0. Формула же (20i) показывает, что все Рlb (?) =0 тогда и только
тогда, когда вектор (Д 1 • ¦ •, fn) является градиентом некоторой функции
G = G(q). Этим самым доказано утверждение, касающееся обратимых систем,
приведенное в § 156.
§ 164. Можно считать, что в рассматриваемой и-мерной области изменения ?
справедлива риманова геометрия, определяемая ко-вариантным метрическим
тензором {gik). Тогда (/*') и (Д) представляют собой в силу (5)
контрвариантные и ковариантные компоненты одного и того же вектора.
Формула (20г) определяет символы Кристоффеля для gih, a (20i) -вихрь
(ковариантный) вектора /= (Д). Кроме того, (4) показывает, что импульсы
pi соответствуют ковариантным векторам (см. § 48), так что их ин-
§§ 155-166. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И ЛАГРАНЖа
147
деке i выписан правильно (внизу). В то же время скорости q/ соответствуют
контрвариантным векторам, так что их индекс следовало бы ставить вверху.
В этом сысле формулы в §§ 155, 157 говорят о том, что теория Лагранжа
является контрвариантной, а теория Гамильтона - ковариантной. Однако из
формул в § 158 видно, что кинетическая энергия Т является в рамках такого
тензорного подхода инвариантной (и тогда U - V) тогда и только тогда,
когда система обратима. При этом условие (/*) =0 является для
динамической системы таким, при котором (pi) и (qi) суть ковариантное и
контрвариантное представления одного и того же вектора (см. § 15).
§ 165. Для того чтобы можно было применить результаты, изложенные в §§
79-98, следует заменить, как и в § 94, и-мерное позиционное пространство
q=(qi), 2и-мерным пространством (q'i Q) - z = (zj)- гДе Zi = qi\ Zi+n =
qi. В частности, точка равновесия q = q° в позиционном пространстве
должна быть определена как решение уравнений (22) при начальных условиях
g(tf>) = q°,q'(t0) = 0 (см. §83).
Уравнения (22) обладают таким решением тогда и только тогда, когда все п
скалярных сумм (23г) обращаются в нуль, так что, поскольку det gih ф 0,
точки равновесия q° характеризуются обращением в нуль градиента Uq(q°).
Из (23i) - (23г) также видно, что если интегральная кривая q = q(t)
достигает при t = t° точки q(t°) позиционного пространства, в которой
вектор скорости q'(t) обращается в нуль, то возможны два случая:
а) градиент Uq(q(t°)) равен нулю, q'(t) == 0 и точка q(t°) является
точкой равновесия:
б) градиент Uq(q(t0)) отличен от нуля и тогда q'(t) ф 0 при любом t,
отличном от i°, хотя и сколь угодно близком к t°. Точка q(t°) не является
тогда точкой равновесия.
§ 166. В силу изложенного в § 83 интегральная кривая в пространстве (q',
q) имеет в любой точке определенную касательную (т. е. не имеет точек
возврата), если только эта интегральная кривая не вырождается в
единственную точку пространства (я'< q)i т- е- не представляет собой
равновесного решения. Однако переход от 2п-мерного пространства к гс-
мерному пространству q связан с проектированием интегральной кривой, и
поэтому нельзя быть уверенным в существовании непрерывной касательной в
позиционном пространстве. В § 170 будет показано, что рошенпе q = q(t),
не вырождающееся в единственную точку позиционного пространства, имеет
при заданном t - ?° непрерывную касательную, если вектор скорости q'(t)
не обращается при t - t° в нуль, и точку возврата, если q' (t°) = 0.
10*
148
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ
§ 167. Пусть задана произвольная функция Лагранжа вида (1)
§ 155. Обозначим через Рл, Nh, Zh множества тех точек га-мерного
позиционного пространства, в которых сумма силовой функции U(q) и
произвольного фиксированного числа h положительна, отрицательна или равна
нулю соответственно. Разумеется, одно или два из этих трех множеств (но
не все три) могут оказаться при заданном h пустыми. Из (3) § 155, видно,
что
(i) если q(t) - некоторая интегральная кривая с энергией h, то при любом
t точка g = q(t) принадлежит множеству Рл + Ък.
Действительно, из (2i) § 155 следует, что ни при каком t точка q = q (t)
не может принадлежать множеству Nh. Из (3) § 155 также видно, что
(ii) если q = q(t) - некоторая интегральная кривая с энергией А, то
вектор скорости q'(t) обращается при заданном t° в нуль тогда и только
тогда, когда точка q(t°) принадлежит множеству Z д.
Поэтому множество Ък называется множеством нулевой скорости,
соответствующим уровню энергии А. Если h\ ф hi, то Zд, и Zд2 не имеют
общих точек, поскольку
(ш) каждая данная точка q - q" позиционного пространства может
принадлежать одному и только одному множеству Zл, а именно тому, для-
которого h = U(q"). В силу изложенного в. § 165 отсюда вытекает, что
(iv) точка q° представляет собой равновесное решение с энергией h тогда и
только тогда, когда Uq(q°) = 0 и U(q°) = -h; поэтому
(v) если q = q(t) - интегральная кривая с энергией h и если существует t
