Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
вопрос, к какой нормальной форме можно прийти при данной Н = Н = const
после замены Н на С'НС, причем С - постоянная полностью каноническая
матрица, подобранная соответствующим образом. Ответ на этот вопрос, а
также на аналогичный вопрос о нормальной форме самой матрицы был получен
вообще лишь недавно. Используемые при этом выкладки слишком длинны, чтобы
их можно было здесь привести. Что касается канонических нормальных форм
некоторых матриц Н частного вида, то см. §§ 64, 64а, где Н = Q.
ГЛАВА III
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Уравнения Гамильтона и Лагранжа §§ 155-166
Изоэнергетическая редукция §§ 167-184
Системы с одной степенью свободы §§ 185-193
Интегрируемые системы §§ 194-205
Системы с радиальной симметрией §§ 206-226
Системы с двумя степенями свободы §§ 227-240
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И ЛАГРАНЖА
§ 155. Будем считать, что функция Лагранжа L(q', q, t) соответствует
динамической системе (не релятивистской), если "-матричная функция Гесса
(L ) (см. § 15) не содержит д' и являет-
ся положительно определенной *). Эти свойства инвариантны по отношению к
преобразованию, рассмотренному в § 10. В силу § 9а можно предположить без
потери общности, что Lt = 0.
Таким образом, мы будем рассматривать только те функции Лагранжа, которые
имеют вид
L(g',g)^sL = ~ 22 Sn(g)g!i> + 2/<(s)j< + V(q) (1) (2=2
где gih = ghufuU суть V2ra(ra +1)+ra+1 заданных скалярных функций точки q
= (qi) в позиционном пространстве и
т = ~ 2 2 Sa (q) q'i q'h > о, если 2 ч? Ф о. (20
(и
gih= ^Ч\Ч'к~ ghi- (2г)
В соответствии с (1) и изложенным в § 96а интеграл энергии лагранжевой
системы [Z<]9 = 0 имеет вид
^22 gih(q)q'i q'h-U(q) = h= const
или
T(q',q)-U(q)=h, (3)
*) Это дополнительное предположение, которое выражается неравенством
(2i), мы не будем использовать до § 166. Поэтому здесь достаточно
полагать, что det(? , ,) " det(gfik) Ф 0.
9i Q k
138
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
где h - постоянная энергии. Это соотношение не содержит коэффициентов
fi{q) линейной относительно скоростей q\',...,qn' части функции (1).
Такие члены соответствуют силам, не выполняющим работу, например,
кориолисовым силам (см. § 231). В соответствии с (3), (2i) величины Г и -
U называют кинетической и потенциальной энергией соответственно, а саму
функцию U называют силовой функцией.
§ 156. Очевидно, что уравнения \.L\q = 0 не изменятся, если добавить к
U(q) постоянную. Единственным результатом такого добавления будет сдвиг
нулевого уровня постоянной энергии h. Кроме того, эти уравнения также не
изменятся, если добавить к каждому коэффициенту fi(q) производную
скалярной функции G(q). Действительно, тогда к функции (1) будут
добавлены члены
Ж.(д)д-^(С(д)У,
которые, как отмечено в конце § 94, могут быть опущены. В соответствии с
этим, если вектор (/,¦) представляет собой градиент, то функцию G(q)
можно выбрать так, что все линейные члены относительно q\ ,...,qn' в (1)
обратятся в нуль. В этом частном случае, т. е. если (1) приводится к
L=T(q', q)+U{q), динамическая система [Zje = 0 называется динамической
системой обратимого типа, а в противном случае необратимого типа.
Основанием для такой терминологии служит тот факт, что если система [Z],
= 0 имеет решение g = g(f), то функция q - q(-t) также будет решением
тогда и только тогда, когда (1) сводится к Т + U. Это будет показано в §
163.
Вместе с тем если q = q(t) -решение уравнений [Z]g = 0, то q = q(t -1°) -
также есть решение этих уравнений при любом t° = const, представляющее ту
же самую интегральную кривую в позиционном пространстве (и
соответствующее, в частности, той же самой постоянной энергии h), что и q
= q(t). Это следует из того, что функция (1) консервативна, и система
|Х]<7 = 0 не содержит явно время t.
§ 157. Так как матрица
- (Sih(q))- (gki)
является в силу (2i) - (22) положительно определенной при любом q, то
условие det {L ) ф 0, приводимое в § 15, удовлетво-
ряется. Обратная матрица (gih)~x, которую мы обозначим через
(gik) = (gih(q)) = (gh<),
§§ 155-166. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И ЛАГРАНЖА 139
также положительно определенная. Кроме того, из (1) § 155 и (li) - (1г) §
15 имеем
Lqr = Pi =2 gih q'h + h, (4)
т. e.
Яр. ^5'=2 (Pk~h)gih, (4i)
поскольку (gih) = (gih)-1. Следовательно, полагая
/i(?) = /i = 2 Sihfh, (5)
т. e.
fi(q)^fi= 2gihf\ (5t)
и
V(q)~ V= U ^"2 ^}gihfifh,
1 (6)
U(q)^U=V + -yi'Zgikfifh'
можем на основании (2i) § 15 заключить, что функция Лагранжа (1) § 155
соответствует функции Гамильтона
Н(р, д) = Н = j 22 g^ivJPiPk - 2 /*(?)р< - у(я)- (?)
Так как (Нр .Ph) = (gik), то можно сделать вывод, что дина-
мическая система может быть охарактеризована не только функцией L вида
(1), но также и функцией Гамильтона Я вида (7).
При этом если L является в соответствии с (1) полиномом второй
степени относительно скоростей с коэффициентами gih, li,
U, зависящими лишь от q = (qi), причем члены второго порядка
образуют положительно определенную квадратичную форму (2), то Н является
полиномом второй степени относительно импульсов р\,...,рп с
