Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
f(x) является периодическим с периодом т. Тогда условие A(t + т) = (At)
(§ 140) выполняется*), и можно говорить о характеристических показателях
Х,п для данного
периодического решения х(1), соответствующих фиксированному периоду т
функции A (t). Справедлив результат, что эти характеристические
показатели или соответствующие мультипликаторы, а также элементарные
делители группы монодромии остаются неизменными, если подвергнуть
пространство х преобразованию у = - у (х), рассмотренному в § 88.
С целью доказательства заметим сначала, что преобразованная система Якоби
(16) § 88 обладает в силу (18) § 88 фундаментальной матрицей вида
где X(=R) - фундаментальная матрица исходной системы Якоби (8) § 85, а /
- якобиева матрица ух = У*(х) преобразования у = у (х) вдоль данного
периодического решения х = x(t) системы x'=f(x). Матрица /(?) неособенная
и периодическая с периодом т. В силу (11*) имеем
Сопоставляя последние два выражения и учитывая (Н4), полу-
*) Но A(t) может оказаться периодической функцией и в случае
непериодического решения x(t).
Y(t)=J(t)X(t),
(На)
§§ 137-154. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
133
чим, что Гу = Гх. Сформулированный в начале параграфа результат доказан.
§ 148. Если данное периодическое решение x(t) системы х' = = t{x) не есть
равновесное решение, т. е. если x(t) ф const, то по крайней мере один из
мультипликаторов соответствующей системы в вариациях равен s = 1. В силу
§ 143 это утверждение эквивалентно тому, что по крайней мере один из
характеристических показателей равен нулю. Следовательно, первый из
критериев § 144а показывает, что тогда система Якоби = А (t) ? обладает
решением ? = 1(f), периодическим с периодом т и имеющим форму 5 = ф(0"
причем ф(? + т) =<р(?) ф 0. Однако поскольку, по предположению, x{t-\-x)
= x(t) ф const, то в силу изложенного в конце § 87 можно положить q>(f) =
x'(t).
§ 149. Предположим, что данное периодическое решение х (t) = - x(t -f т)
Ф const системы х' =f (х) принадлежит семейству
t
нериодических решений х = х{ е) этой системы. При этом
х{и, е) -функция двух переменных, имеющая непрерывные частные производные
первого порядка, а период т = т(е), рассматриваемый как функция
постоянной интегрирования е (которая равна нулю для данного решения
x(t)), имеет непрерывную производную те(е), отличную от нуля при е = 0.
Применение к
семейству x(t, е) = > Е) правила, изложенного в § 87, показывает,
что система Якоби соответствующая реше-
нию х - x(t), сама обладает решением
?(*)=Ч>(0 + М0. (12)
где
vp(t)= a:e(?, 0), ф (t)=ax'(t), а = -^jy.
Так как i|3(f) и ф(?) имеют, очевидно, период т = т(0) и так как ф(?) ^ 0
в силу условия x(t) ф const, то из второго из критериев § 144а следует,
что система Якоби = A (?) ? обладает не только периодическим решением ? =
i/(f), указанным в § 148, но и вековым решением (12), соответствующим
характеристическому показателю а = 0. Таким образом, по крайней мере два
характеристических показателя равны нулю, т. е. по крайней мере два
мультипликатора равны 1.
§ 150. Предположим, что линейная система (li) является канонической, так
что то-вектор | представляет собой 2га-вектор,
134
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
образованный п импульсами и п координатами. Эту систему можно записать в
виде (см. § 91)
Б' + 1ЯЕ = О,
в которой функция Гамильтона Н = H(\,t) является квадратичной формой 72?-
Н(?)?, соответствующей заданной симметрической 2/г-матрице Н = Н(?). В
соответствии с этим
1Б' = н (06, (13,)
т. е.
Г=-1Н (06,
причем
Н = Н\ Г = -I = I-S (13г)
так что матрица A{t) в системе (1,) связана с Н(?) формулой A{t) = -
1Н(?). В соответствии с § 105а преобразование ?(0) в |(?) является
каноническим с множителем ц = 1. Сравнение (12) § 137 с §. 37 показывает
далее, что (14,) § 37 удовлетворяется при ц = 1 и Г(?) = R(t), причем
R(t) определяется согласно (2,) -
(22) § 137. Другими словами. R(l) представляет собой при любом
фиксированном t полностью каноническую матрицу (§ 60).
§ 151. Предположим, в частности, что матрица Н(?) в (13,) удовлетворяет
условию Н(? + т) = Н(?) при фиксированном х Ф 0. В соответствии с (6) и с
последним замечанием в § 150 матрица монодромии Гд является полностью
канонической. Так как характеристические числа этой матрицы (т. е. 2п
мультипликаторов
si, ..., s2n) и ее элементарные делители являются инвариантами
группы монодромии (см. §§ 141 - 142), то из § 60 следует, что если s -
мультипликатор, вещественный или комплексный, то s-1 - также
мультипликатор, соответствующий (если s=^ ±1) элементарным делителям той
же степени, что и s (и имеющий, в частности, ту же кратность). Учитывая
изложенное в § 143, можно сказать, что если система (13,) имеет
характеристический показатель, равный X, то она также имеет
характеристический показатель, равный -X. При этом, если X не равно целой
кратности 2т/х или т/х, то -X имеет ту же самую кратность и соответствует
вековым членам той же степени, что и X. Кроме того, кратность
