Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 54

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 202 >> Следующая

мультипликатора s = - 1 (т. е. характеристического показателя X = jи/т),
а следовательно, и мультипликатора s = +1 (X = 2m/x) всегда четная. Это
вытекает из того, что произведение всех 2п мультипликаторов совпадает с
определителем полностью канонической матрицы Гя и в силу (12) § 32 равно
+1.
Наряду с тем, что мультипликаторы встречаются парами (s, s-1), имеет
место и тот факт (см. § 142), что каждому комплексному s соответствует
сопряженный мультипликатор s той же
§§ 137-154. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
135
кратности и соответствующий такому же элементарному делителю. Поэтому из
изложенного в § 143 следует, что если система (13i) имеет комплексный (не
вещественный или чисто мнимый) характеристический показатель X, то не
только - X, но и X, а следовательно, и -X также будут характеристическими
показателями этой системы. Четыре различных характеристических
показателя' ± X, ± X имеют при этом одну и ту же кратность и могут
порождать вековые члены одной и той же степени (см. §§ 144-144а).
§ 152. Пусть дано решение x - x(t) консервативной канонической системы с
п степенями свободы. Тогда соответствующая система Якоби также (см. §
101) каноническая, и она может быть, следовательно, записана в виде (13j)
§ 150. Если к тому же x(t + т) = x(t), то рассуждения, аналогичные
приведенным в §§ 146-147, показывают, что Н (t + т) = Н(?).
Если при этом существует функция Лагранжа (см. § 94), то гамильтонова и
лагранжева формы (211) - (212) § 101 уравнений в вариациях обладают
одними и теми же инвариантами группы монодромии. Действительно, переход
от гамильтоновой к лагран-жевой форме уравнений движения выполняется в
силу изложенного в §§ 6-8 с помощью преобразования, рассмотренного в§
147. Если данное периодическое решение не представляет собой точку
равновесия, то на основании сказанного в § 148 можно гарантировать, что
по крайней мере один, а следовательно, в силу § 151 по крайней мере два
из мультипликаторов sj, ..., s2n равны 1. Таким образом, по крайней мере
два из характеристических показателей Xi, . . ., Х2п равны нулю.
§ 153. Предположим, наконец, что данное решение х = x(t) есть равновесное
решение, так что в (13j) - (132) Н(?) = const. Тогда характеристические
показатели определяются в соответствии с § 145 единственным образом как
характеристические числа матрицы А = -IH (мультипликаторы s тогда не
определяются). Можно утверждать, что результаты, изложенные в § 151 по
отношению к характеристическим показателям, остаются справедливыми.
Действительно, для этого достаточно показать, что матрицы -А и А или (что
означает то же.самое) матрицы -А и А'' имеют те же самые элементарные
делители, т. е. что -А = = Т~1А'Т при соответствующим образом выбранной
Т. Однако А = -IH, так что в силу (132) можно положить Т = I.
Так как матрица Я(?) является в силу § 150 полностью канонической при
любом t и так как она определяется в данном случае по формуле (11г), где
А = -IH, то матрица е~пя будет полностью канонической при любом t каждый
раз, когда Н = Н\
136 ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Справедливость же последнего факта следует из § 60а, так как матрица - Ш
симметрическая при любом t.
§ 153а. Следует указать, что хотя матрица е1Н и будет канонической с
множителем р = 1 при любой Н = Н', но не любая каноническая матрица с
множителем р = 1 может быть записана с помощью соответствующей матрицы Н
= Н' в виде ет. Задача о выделении матриц, представляемых в виде ет,
сейчас решена, и она связана с результатами, которые упоминаются в §
154а.
§ 154. Пусть F = const - симметрическая 2?г-матрица, отличная от нулевой
матрицы (0), но определитель которой может обращаться в нуль. Если G -
другая такая же матрица, то из изложенного в § 23 и из (19) § 20 следует,
что квадратичные формы 72g-Fg и 'Ag-Gg находятся в инволюции одна
относительно другой и тогда и только тогда, когда g-GIFg = 0. Это
означает, что матрица GIF - кососимметрическая, т. е. что GIF = FIG.
Поэтому из § 92 вытекает, что квадратичная форма V2E ¦ Fg представит
собой интеграл линейной консервативной канонической системы Ig' = Hg (см.
§ 153) тогда и только тогда, когда HIF = FIH.
Такой результат справедлив и тогда, когда квадратичная форма V2E ' FE
представляет собой квадрат линейпой формы f ¦ g, в которой 2гс-вектор 1 =
const ф 0.
Подстановка линейной формы f-g в систему g' = -IHg показывает, что эта
форма будет ее интегралом тогда и только тогда, когда НИ = 0, т. е. если
Hg = 0, f = -Ig.
Таким образом, условие det Н = 0 является необходимым и достаточным для
существования линейного интеграла f ¦ g. Число таких независимых линейных
интегралов совпадает с числом (^0) линейно независимых решений g
однородного уравнения Hg = 0, где g = If.
§ 154а. Если С = const - некоторая полностью каноническая матрица, то
функция Гамильтона '/2?' Hg системы (13j) преобразовывается подстановкой
g - Сц в '/гЦ-Кц, где К = С'НС (см. §§ 37, 60). Таким образом, возникает
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed