Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
противоречию.
Так как lim r(t) =0, то рассуждения, приводившиеся в
§ 411а, сохраняют свою силу. Таким образом, lim /"(2) = +°°,
и существует неотрицательный lim /(2) ^ -j-oo.
Из существования lim/(2) ^ +оо вытекает далее, что условие lim г(2) = 0
можно заменить более сильным условием стремления к нулю по крайней мере
одного из трех р;ь(2). В ином случае можно было бы выбрать
последовательность моментов tu 22,... таких, что tm удовлетворяют тому же
условию, о котором говорилось в § 412, и расположено между 2<т> и 2<т+1).
Но это ведет к тому же противоречию, что и в § 412.
Следовательно, можно выбрать обозначения так, что lim pi2(2) = 0 при lim
2 = +0.
§ 428. По определению моментов 2<т> по крайней мере одно из трех Pjh(t)
обращается в нуль при любом фиксированном 2<т>, причем 2<т>-> +0 при т-*-
оо. Как при парном, так и при одновременном столкновении в фиксированный
момент 2<т) производная J'(t) остается, как показывает последнее
замечание в § 414а, непрерывной при любом хотя 7" (2) становится
неограниченной (положительной). Кроме того, из условия lim J"(t) = +оо
27 А. Уинтнер
418
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Еытекает, что а также и сама функция J(t) монотонны в
достаточно малой е-окрестности справа от момента t - 0.
Так как /(i) >0 в интервале междуt = f<m> и t = f<m+1> итак как #m)-"-+0
при то -"-оо, то 7(^т)) 0 при любых достаточно
больших то. Другими словами, столкновения, происходящие при t =¦ f<m),
являются, начиная с некоторого то, парными.
Поскольку lim piz(i) =0, то либо все три lim Pjh(f) = 0, либо обращается
в нуль при t - t<m> и различных и достаточно больших то одно и то же
расстояние рд,, а именно pi2. Но мы теперь покажем, что оба эти случая,
не исключающие друг друга, ведут к противоречию. Это противоречие
доказывает отсутствие конечного V, о существовании которого мы
предположили в § 427.
§ 429. Предположим сначала, что все три НтрдДО =0 при t -> +0. Тогда,
хотя моменты t<m) столкновений имеют точку сгущения t = +0, ничто не
препятствует повторить рассуждения, приводившиеся в §§ 335-338а. Эти
рассуждения необходимо лишь очевидным образом видоизменить с учетом того
факта, что все промежуточные столкновения являются парными столкновениями
между mi и то2 (см. § 428). Таким образом, применима формула (18i) § 337
(если считать, что lim t = +0), и, следовательно, lim J"(t)~^](t)
существует и отличен от нуля. Но J(t) не может обращаться в нуль в
моменты t, достаточно близкие к lim t = = +0, поскольку столкновения при
t = t<m) не являются, начиная с некоторого то, одновременными.
Следовательно, У (t) конечно при любом t, достаточно близком к lim t -
+0. Мы пришли, таким образом, к противоречию, поскольку, как было указано
в § 428, J' (tm) = +оо при любом т, a +0 при то-"- оо.
Этим самым исключается первый из двух случаев, упомянутых в конце § 428.
Для того чтобы доказать невозможность второго случая, можно, очевидно,
предположить, что хотя лишь pi2 (i) из всех трех рjh(t) стремится к нулю,
но р12(#т)) = 0 при всех достаточно больших то. Вместе с тем то же самое
доказательство, которое приводилось в § 412, показывает, что существует
общий отличный от нуля предел lim pia(4) = lim ргз(0 ^ +оо.
Следовательно, если момент t достаточно близок к lim t - +0, то оба
расстояния pjs(f) превосходят некоторое фиксированное положительное
число, и ничто не препятствует повторить рассуждения, приводившиеся в §
349а. Надо лишь учесть тот факт, что все промежуточные столкновения -
парные столкновения между toi и то2 (см. § 428). Таким образом, применима
формула (82) § 413. Однако из замечаний в §§ 336-337 видно, что (8г) §
413 влечет за собой (80 § 413. Формула же (8i) § 413 показывает, что
fJ/spi2(f), а также и pi2(?) положительны при любых достаточно малых
59 426-440. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
419
t > 0. Следовательно, условие piz(^m)) - 0 не может иметь места при
достаточно больших т.
Это противоречие завершает доказательство факта, указанного в конце §
426.
§ 430. Таким образом, моменты продолжаемых столкновений (§ 426) не могут
иметь конечную точку сгущения t'. Поэтому из альтернативы,
сформулированной перед последним утверждением § 426, следует, что если
решение = Ei(i) задачи трех тел не может быть аналитически продолжено до
t = -оо (или до t = + оо), то это решение перестает существовать лишь при
конечном t, представляющем собой изолированную трансцендентную
(логарифмическую) особую точку и соответствующем второму из двух случаев
(j), (ii) § 421.
Сравнивая этот результат с § 413, видим, в частности, что если решение
обладает инвариантной плоскостью (т. е. если это решение неплоское), то
оно существует при всех t от t- -оо до t = -}-оо при условии, что оно
аналитически продолжаемо в моменты парных столкновений. Разумеется, число
таких столкновений может быть конечным (^ 0) или бесконечным.
По существу, пример, упомянутый в конце § 346а, показывает, что решение,
не обладающее инвариантной плоскостью, может и не приводить к
