Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
барицентрическая система координат {х, у) носит
где
^=у(*2 + г/2Н
*) Следует отличать эту координатную систему от системы (х, у) § 441,
которая обозначается теперь через (х,у).
§§ 441-445. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 429
название синодической. Если р = 0, то (5i) - (52) сводятся к (5i) § 300,
так что используемая терминология такая же, как и в предельном случае,
рассмотренном в § 300.
Ось х синодической координатной системы называется осью сизигий. Такое
название согласуется с определениями в § 327, так как два из трех тел Pi,
Pz, Р всегда расположены на этой оси. В соответствии с (5j) - (52)
уравнения Лагранжа
[¦Цзс - 0, [L]y = 0
и их интеграл энергии можно записать в виде
- 2у' = Ux, у" + 2х' = Uу, (6,)
xn + yn = 2U{x,y)-C, (62)
если через -*/zС обозначить (как и в предельном случае в § 300)
постоянную энергии. Сама постоянная С называется постоянной Якоби.
Если через X, Y обозначить импульсы, а через Н(Х, Y,x,y)
гамильтонову функцию, соответствующую (5t) - (52), то в соот-
ветствии с § 229
Х - х' - у, Y=y' + х, (7i)
Н = i-(X2 + У2) - (xY - уХ) - V(x, у), (72)
V(x, у)= U(x, у)-^-(х2 + у2), (73)
Н = h, (74)
h = ~^C. (7s)
§ 443а. С помощью биполярных координат (33) § 56 функцию (52) § 443 для
двух произвольных масс р, 1 - р можно записать в симметричной форме
и = (1 - р) ¦(уГ12+гГ1)+р(-^-г2-|-гГ1 ^ +const,
где
1
const = - - р(1 - р),
поскольку
(1 - p)ri2+ рг22 = з?- + у2 + р(1 - р).
430
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
§ 444. Если отбросить последнюю сумму, соответствующую ценг^ робежным
силам, то U примет вид
ri г2
Если же пренебречь также кориолисовыми силами, представлен-, ными в (5i)
членами (ху' - ух'), то мы придем к задаче двух неподвижных центров (см.
§ 203), интегрируемой в эллиптических функциях.
§ 444а. Если две массы равны, то для того чтобы задача приводилась к
квадратурам (выражаемым также с помощью эллиптических функций),
необходимо пренебречь лишь кориолисовыми, но не центробежными силами.
Действительно, если 1 - р, = р,, то (см. § 443а)
U = (r?+ ri) + у (гГ1 + r2_1) + const.
Таким образом, если выбрать переменные так же, как и в § 203, то
обратимая задача, соответствующая лагранжевой функции
l = y(x'z + у'2)+ и>
будет принадлежать, как легко видеть, к тому типу, который был рассмотрен
в § 194.
§ 445. Единственным "известным" интегралом для уравнений
(61) является интеграл энергии (6г). Отрицательный результат для задачи
га(^З) тел, упомянутый в § 320а, может быть доказан также и для
ограниченной задачи. Единственный интеграл
(62) играет в этой задаче ту же роль, что и группа всех десяти
консервативных интегралов (§ 320). Однако эти отрицательные результаты
для уравнений (61) не приносят нам никаких конкретных сведений, поскольку
опять остаются в силе замечания, сделанные в § 320а.
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
§ 446. Лагранжева функция (5i) § 443 имеет вид (5i) § 229, где f(x, у) =
1, так что в = 1в силу (3) § 228. Следовательно, применяя (Иг) - (13г) §
230 к произвольному конформному отображению
x + iy = z = z(l) = г(? + it]),
99 448-461. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ 431
получим *)
E'-2|*tl4 = E7b -Й + 2|2Е]=5 = (8.)
r"w- (&)
где точками обозначены производные по переменной t - t(t), которая
находится с помощью квадратуры из (8Z), и
-|-(Ёг + л2)-(7=о, (gi)
&-гг(5ч,-4с)=1ч11(?'-4с>
(9")
§ 447. Если р отлично как от 0, так и от 1, то конечными вещественными
особыми точками аналитической силовой функции (5г), а вместе с тем
дифференциальных уравнений (64) будут точки (х, у) ~ (1 - р, 0) и (х, у)
= (-р, 0), в которых находятся две притягивающие массы. Если р = 0, то
первая из этих особых точек исчезает, а вторая оказывается такой, которая
допускает, как и в §§ 268-269, регуляризацию с помощью преобразования z -
?2 § 259. Этот факт указывает на то, что если О < р < 1, то вторую и
первую особые точки можно регуляри-зовать, положив z - -р + ?2 и 2 = (1 -
р) + ?2 соответственно.
По причине симметрии достаточно рассмотреть особую точку (х, у) - (-р, 0)
и отображение z = -р ?2, т. е. отображение
х = - р + 12 - л2, у = 2|ц,
рассмотренное в § 54. Таким образом, можно переписать (8t) (82) следующим
образом:
|-8(§2 + л2)л = С/б, 1
Л + 8(Б*.+ Л*)Е=^ч, J
(10i)
* = 4(|2 + л2), (Юг)
а (5г) показывает, что (9г) принимает вид U = 4(?2 + л2) (р2 - 2(|2 - л2)
р + (|2 + л2)2 + +
_1_____;_________li________________- с\ (11)
^ {1-2(|2-л2) + (|2 + Л2)2},/а 2 /
*) Функция!?, определяемая ниже согласно (9г), не имеет ничего общего с
функцией U, определяемой формулами (Ь) - (13). Последняя функция
использоваться ниже не-будет.
432 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
Из (11) видно, что при малых g, ц
и = 4(1 - р) + 4 (р2 + р - (g2 + т]2)+ (Б, Л)4, (12)
где (g, ц) * - функция, разложение которой в степенной ряд по
g, т] начинается с членов четвертого порядка и имеет вещественные
коэффициенты, зависящие только от р. В частности, U сохраняет
аналитичность в точке (g, ц) = (0,0), в которую переходит особая точка
