Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
если только по крайней мере один из двенадцати характеристических
показателей s для уравнений в вариациях окажется при соответствующих
значениях масс /я,- отрицательным и иррациональным. Удостовериться в
последнем можно путем исследования корней уравнения det (sE - А) - 0. Эти
громоздкие и элементарные исследования аналогичны тем, о которых
указывалось в § 381. Выполняя их в данном случае, найдем, что если точка
равновесия = щ уравнений (29i) соответствует треугольному решению, то
восемь корней уравнения det (sE - А) - 0 из двенадцати принадлежат, как и
в § 382, к устойчивому типу. Если исключить эти корни, то остающееся
биквадратное уравнение легко разрешимо. Один из его корней s = s(mi, m2,
m3) оказывается отрицательным при произвольных mi, m2, m3 и его значение
зависит от масс т* (входящих в коэффициенты уравнения). Кроме того, этот
корень s ==•s(mi, m2, m3) принимает иррациональное значение, так как он
является алгебраической, а следовательно, непрерывной функцией /п,-.
Аналогичная ситуация имеет место и тогда, когда рассматриваемая
центральная конфигурация не треугольная, а коллинеарная.
§ 425. Очевидно, что метод, примененный в § 421-424, можно распространить
на случай одновременного столкновения (§ 335) п ф 3 тел. Метод же,
примененный в §§ 415-420, распространяется на случай парного столкновения
(§ 349) при п > 3, если
416
tUtABA V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЁЙ
только использовать вместо (14г) аналогичные п - 2 тождественные
подстановки.
Предположим в более общем случае, что в барицентрической инерциальной
системе координат ? существуют д(<га) точек 01, .. ., Oi, ..., Од таких,
что именно щ из п тел тщ, . .., тп стремятся при f->- +0 к точке Оь При
этом щ ^ 1 и тц + ... -j- nq - = п > q, так что во всяком случае щ ^ 2.
Тогда легко заметить, что для тех I, для которых щ > 2, соображения,
изложенные в §§ 361-368 и в §§ 421-424, можно применить к группе щ тел,
сталкивающихся в точке О;. Для тех же I, для которых щ = 2, соображения,
изложенные в § § 349-350 и в §§ 415-420, применимы к паре тел,
сталкивающихся в точке 0;.
Затруднение (см. § 411) состоит в том, что если только п > 3 (см. §§ 412-
413), то неизвестно, всегда ли существуют указанные точки 0i, ..., Oq,
когда удовлетворяется условие r(t) 0 (см. §§ 409-410).
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
§ 426. Назовем столкновение в задаче трех тел продолжаемым, если оно не
принадлежит к одновременному столкновению типа (И) § 421, т. е. если оно
не приводит к появлению трансцендентной особенности. В частности, любое
парное столкновение продолжаемо.
Рассмотрим некоторое определенное решение ?,¦ = ?,(*) задачи трех тел.
Пусть в начальный момент t = t0 все три > 0. Проследим это решение,
начиная с t - t0, например, при t < t0. Тогда возможны три случая:
(I) ни при каком t величина (1) § 407 в нуль не обращается, и тогда § 409
показывает, что движение совершается без особенностей до момента t - -оо
или согласно § 413 происходит столкновение, а тогда одно из двух:
(II) в некоторый момент происходит продолжаемое столкновение;
(III) в некоторый момент происходит непродолжаемое столкновение.
Предположим, что имеет место случай II, пусть ^ - момент столкновения,
ближайший к начальному моменту t0. Тогда, рассматривая аналитическое
продолжение данного решения^ = bi(t) в точке №, придем к выводу, что при
t < fW возможен любой из трех случаев (i), (II), (III). Следовательно,
повторяя, пока это возможно, аналогичные рассуждения далее, можем
заключить, что
а) либо мы придем после конечного числа случаев II к случаю I или III,
так что последовательные аналитические продол-
gg 420-440. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
417
женин данного решения |j = ?*(2) при 2 < 20 мы получим с помощью
конечного числа шагов;
б) либо мы никогда не придем к случаям I или III, так что процесс
аналитического продолжения в последовательные моменты столкновений
повторяется бесконечное число раз и приводит к бесконечной
последовательности № > № > .. . > 2(тп) > .. . моментов продолжаемых
столкновений.
Но тогда ниже будет показано, что в последнем случае
?(m.) -оо при тп -> оо.
§ 427. Предположим, что бесконечная последовательность
2^, 2<2>,... существует и не стремится к -оо. Тогда, поскольку ?<771) >
2<т+1>, существует конечное 2* такое, что 2<т> -> 2* при пъ-+- оо.
Выберем начало на оси времени так, чтобы 2* = 0. Пусть знаки lim, lim,
lim относятся к предельному процессу lim 2 = +0, когда 2 изменяется
непрерывно, проходя, в частности, все дискретные моменты столкновений
имеющие точку сгущения 2 = +0.
В этом смысле lim r(t) = 0, если г -<min (pi2, ргз, РзО- Действительно,
из предположения, что lim г (2) >0, вытекает существование
последовательности 2j, h,... такой, что 2т лежит между 2<т> и 2<т+1>, а
г(2т) превосходит при любом тп фиксированное положительное число, равное,
например г*. Тогда, поскольку 2", -> -}- 0, можно использовать
неравенство (4г) так же, как это было сделано в § 409, и прийти к тому же
