Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
одновременное столкновение всех трех тел. Выберем три массы mi, пъг, пг3,
так что отрицательное число s = s(mi, m2, m3) иррациональное. Тогда,
поскольку не все три ан обращаются в нуль, по крайней мере одна из
аналитических вектор-функций
(0 < t < const),
(27)
n=0
§§ 415-42S. ТЕОРЁТИКО-ФУНКЦИОН. ХАРАКТЕР СТОЛКНОВЕНИЙ 413
(27) имеет при t = О изолированную, но существенно особую
(логарифмическую) точку. Таким образом, решение (27) является
вещественным при t < 0 и обладает бесконечным числом непосредственных
аналитических продолжений при t <; 0, но каждая из получающихся ветвей
оказывается комплексной при t < О
§ 421а. Так как ряды типа (27) можно дифференцировать почленно, то
очевидно, что для таких решений затруднение, упомянутое в § 368, т. е
проблема возможных спиралей, возникнуть не может. Однако, по-видимому,
весьма трудно доказать, что любое решение li = ?"(0" которое
соответствует одновременному столкновению, можно получить по методу
характеристических показателей s, примененному ниже в § 423 при
доказательстве существования частных решений вида (27).
§ 422. Пусть li - li(t) -некоторое решение уравнений
при 0 < t < const. Положим, как и в (18j) § 364 и (15j) § 363,
Тогда уравнения (280 запишутся согласно (19i) - (19г) § 364 в виде
и точками обозначается дифференцирование по t. Если t -*¦ +0, то t->- -j-
оо согласно (28г).
Пусть li - li (t) - гомотетическое решение уравнений (280. Выберем это
решение так, чтобы постоянная энергии h была равна нулю. Согласно § 378
такие решения существуют при произвольных значениях га,- и могут быть
(см. § 367) как коллинеарны-ми, так и треугольными. В любом случае они
приводят (см. § 378) к одновременному столкновению при некотором t = to,
например, при t -*¦ -(- 0 Так как h = 0, то сравнение § 378 с (22) -
(222) § 268 показывает, что li(t) и t пропорциональны второй и третьей
степени локально униформизирующей переменной и
(см. §§ 269-271).
(280
t = -lg t.
ti = t~4u
(282)
(28з)
(290
где
U=2;
• mjmh
(292)
414
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЯ
соответственно. Таким образом, gi (t) - i'/3gi (1). Обозначая три
постоянных трехмерных вектора 1г(1), образующих треугольную или
коллинеарную треугольную конфигурацию, через су, 0.2, аз, получим, что
согласно (28г) gi равно щ, т. е. что li(?) = щ, g* (t) = 0 Другими
словами, gi (<) = щ, i = 1, 2, 3, есть равновесное решение уравнений
(29i).
Поэтому иа § 89 следует, что если через gi = gi(t), i = 1, 2, 3,
обозначено смещение (см. § 86) для этого частного решения (29i), то
уравнения Якоби (см. § 86), определяющие gi, имеют постоянные
коэффициенты. Так как С = 0, то согласно § 326 третьи компоненты шести
трехмерных векторов gi, li можно выбрать равными тождественно нулю. Тогда
порядок уравнений Якоби понижается с 6и = 18 до 4гг = 12. Таким образом,
уравнения Якоби имеют
вид (41) § 381, где п = 3, штрих надо заменить на
точку и A - (dji) -постоянная матрица 12-го поряд-
ка. Если s - один из 12 корней уравнения det (sE - А) = 0 для
характеристических показателей (см. § 89), то уравнения Якоби имеют
решения вида gi = е|3{ exp (st), где векторы Pi - постоянные и не все
равны нулю, а е - произвольный скалярный коэффициент пропорциональности,
который будем считать положительным.
§ 423. Выбирая е малым и применяя результаты, изложенные в §§ 85-86,
увидим, что уравнения (29*) обладают решением 1; = li (t), которое в
фиксированном ограниченном t-интервале аппроксимируется формулой
тем точнее, чем меньше е. Однако gi (t) = ai - точка равновесия для
(29i). Следовательно, если какой-либо характеристический показатель s для
уравнений Якоби отрицателен, то общеизвестная теперь *) теорема
существования для вещественных нелинейных дифференциальных уравнений с
аналитическими правыми частями гарантирует существование семейства
решений gi = gi (t) уравнений (29j), зависящих от малой постоянной
интегрирования е, причем эти решения не только аппроксимируются
выражениями (30) на фиксированном конечном i-интервале, но и
представляются на бесконечном интервале const < t < 00 степенными
*) Этот вопрос является центральным в диссертации Пуанкаре. К мысли о
существовании рассматриваемых разложений его привело замечание Дарбу.
at + gi(t) s= он -f- e^i exp (st), i = 1,2,3, (30)
§§ 415-425. ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОН. ХАРАКТЕР СТОЛКНОВЕНИЙ 415 рядами вида
оо
li = СЦ + PiX + 2 b{n(e)in, X - е exp(st) (31)
n=2
с вещественными коэффициентами, имеющими при любом фиксированном малом е
некоторую конечную область сходимости |т| < const.
Фиксируем б и определим сц" при п = О, 1, 2,..., полагая Oin = Ь1-
71(е)еп, п = 2, 3,..., и аю = сц, a,i = fre. Тогда ряды
(31) можно переписать в виде
ОО
= 2 a*n exp(nst) (const < t < + oo). (32)
n=0
§ 424. Решение (32) уравнений (29i) эквивалентно в силу (28i) - (28г)
решению (27) уравнений
rriili'= 17г.,
преобразовываемых с помощью (28i) -¦ (28г) к виду (29i).
Следовательно, доказательство утверждения (it) § 421 будет закончено,
