Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 150

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 202 >> Следующая

2P\Mi 2Мг Р\ \Q,
_У ________________тз mi____________________ /201
", W22-(-1)iv^ + (v^i2l^l)2}'/a '
§ 416. Очевидно, что преобразование (150 - (15г) представляет собой
пример канонического расширения координатного преобразования (24) § 54,
использованного в § 259 и приспособленного к данному случаю.
Для того чтобы аналогия с § 259 была полной, рассмотрим те решения
уравнений (11,), которые соответствуют произвольно фиксированному
значению постоянной энергии h, и введем далее
408
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
вместо t новую независимую переменную (9). Обозначая точками полные
производные по этой переменной и - u(t) и применяя формулы, имеющиеся в §
180, к t - и, G = р42, увидим, что вдоль любого решения с энергией h
можно заменить уравнения (16i) и функцию (162) следующими:
Р; = -Я., Qj = Нр., (210
Н = (-h + Н) pi2. (212)
Обозначая через РД @Д j - I, II, III, компоненты четырех 3-векторов Pj,
Qj и выражая р12 с помощью (123) и (19i) через Qi, Pi, можно переписать
(212) в виде
Я = Я (Pi1 Р2Ш, Ql Q(tm)), (22i)
причем
Pu = P?|Gi|, (22*)
а постоянная энергии h имеет фиксированное значение.
В соответствии с (222), (212), (20) функция (22j) двенадцати скалярных
переменных выражается в явном виде следующим образом:
2 1 Pi Pi
=т(->
2 VI TTlj \
' Ц{<?22 - (-1)i+ (v,Р2 iGii)*}* Г тт2' {2)
где х выражается по формуле (17), скаляры Vj, Mj - по формулам
(12i), (13j), так что они зависят только от фиксированных
значений масс пц, и
Qi = (Qi)2 + (Cin)2 + (<2im)2. (240
(?*=(^)г + ((?2П)2 + ((?2Ш)2. (24г)
§ 417. Применим теперь для изучения парного столкновения rrii и т2
изоэнергетическую каноническую систему (210, описывающую любую траекторию
§,• - |,(0 с заданной энергией h. Если это столкновение происходит тогда,
когда t, уменьшаясь, стремится к нулю, то pi2 0 при t +0, a pi3, ргз
стремятся к общему положительному пределу, который обозначим через а.
Используем вместо t независимую переменную (9) уравнений (210. Тогда
при Заданное решение этих
§§ 415-425. ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОН. ХАРАКТЕР СТОЛКНОВЕНИЙ 409
уравнений определяет при любом и > 0 точку
(25)
в двенадцатимерном фазовом пространстве. Мы покажем, что при и -*¦ +0
точка (25) остается в ограниченной замкнутой области, лежащей целиком в
области регулярности аналитической (но не всюду регулярной) функции (22i)
двенадцати переменных /У,...
§ 417а. Для доказательства достаточно показать, что при + О оба вектора
Pj и оба вектора Qj остаются ограниченными и что
при выбранных соответствующим образом а, р. Действительно, тогда из (23)
и (24j) - (242) с очевидностью следует, что при и -> +0 точка (25) не
подходит близко к особой точке функции
(22i) двенадцати независимых переменных. При этом величина и является
согласно (17) полиномом по этим переменным.
Прежде всего покажем, что обе пары Pj, Qj остаются при М-+-+0
ограниченными. Так как надо доказать также (26i) - (264) и так как из
(264), (26з) и (26j), (264) вытекает ограниченность Qi, Qz и Р1
соответственно, то достаточно рассмотреть Рг-Однако Pz совпадает в силу
(14г) и (Hi) - (Иг) с Yz = М2Х2', где Мг - положительная постоянная, а Хг
= const 13' согласно
(132), причем производная %з' остается ограниченной, так как она
стремится к конечному пределу (72). Таким образом, остается доказать
(26i) - (264).
Далее (222) показывает, что (26<) выполняется, поскольку, по
предположению, р" -> 0. Кроме того,
в силу (19з), (12i) и (123). Поэтому (262) следует из того факта, что pi3
и ргз стремятся к общему пределу a, a pi2 -> 0 и Vj = const. Так как, по
предположению, а > 0, то из (19*) - (193) видно, что
(263) вытекает из (26i) - (262). Наконец,
Pi2|&K0,
102 К 0,
(26i)
(26,)
(26,)
(26*)
|0iKP>O
х = pi3 - Ргз + (v2 - Vi) pi2
410
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТИЛ
в силу (lli), (Иг) и (19i), (I81) соответственно, так что если положить р
= 2(тп{ + m2)Mi2, то (264) удовлетворяется в силу (82) *)¦
§ 418. Этим самым завершается доказательство факта, указанного в конце §
417. Заметим теперь, что производные аналитической функции могут иметь
особенность лишь в особой точке этой функции. Следовательно, если f\,...,
/12 - первые частные производные функции (22i), a D - замкнутая
ограниченная область в
двенадцатимерном фазовом пространстве ,..., ф(tm)), то точка
(25) на фазовой интегральной кривой уравнений (21*) остается при и +0
целиком внутри выбранной соответствующим образом области D, не содержащей
особых точек двенадцати аналитических функций /1,..., /12 двенадцати
независимых переменных, Эти же функции /1,..., /12 составляют с точностью
до знака правые части уравнений (21i). Следовательно, объединяя теорему
покрытия Гейне - Бореля с теоремой о локальном существовании и
единственности решения обыкновенных дифференциальных уравнений, сразу
увидим, что любая из двенадцати скалярных
функций Pj1,..., @2П от и, представляющих решение уравнений
(21i), должна стремиться при ц->- +0 к конечному пределу. Предельное
положение точки (25) в фазовом пространстве находится, таким образом, в
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed