Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
ограниченной замкнутой области D. Следовательно, применяя теорему о
локальном существовании и единственности к и = 0, придем к выводу, что
все двенадцать функций
Pi,.@2UnePeMeHH0(r) и остаются регулярными в точке и = 0.
Таким образом, в окрестности точки и = 0 четыре 3-вектор-кые функции
Р}(и), Qj(u), j = 1, 2, можно разложить в степенные ряды, сходящиеся при
достаточно малых ) и ], представляющие данное решение уравнений (21i) при
и > 0 и имеющие, конечно, вещественные коэффициенты.
§ 419. Подставим эти разложения функций Pj, Qj в формулы (15) для Xj и
затем получающиеся разложения Xi, Х2 в формулы (13г) - (13з) для трех 1,-
. Поскольку при этом требуется выполнить лишь конечное число сложений и
умножений степенных рядов, то все барицентрические инерциальные векторы
положения ii разлагаются в ряды по целым положительным степеням и с ве-
*) В формуле (82) X, = ?2 - |i. Это согласуется с (132), поскольку v, +
v2 = 1 в силу (18().
§§ 415-425. ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОН. ХАРАКТЕР СТОЛКНОВЕНИЯ 411
щественными коэффициентами. Однако мы предполагали, что при t -*¦ -j-О
имеет место парное столкновение. Следовательно, подставляя
|?i - ?21 = Pi2 = Р 12(14)
е (81), где р, > 0, увидим из определения (9), где t > 0, и > 0, что
функцию t - t(u) можно разложить вблизи точки и = 0 в ряд по целым
положительным степеням и с вещественными коэффициентами. Эта функция
имеет в точке и = 0 нуль третьего порядка (т. е. t(u) = и3р(и), где р(0)
ф 0) и представляет при малых и>0 единственное вещественное обращение
функции (9), задававшейся при малых t > 0 (и > 0).
Определим теперь три ^ Ф li(w) и i = t(u) при малых и < 0 их степенными
рядами. Так как коэффициенты этих степенных рядов вещественные и так как
функция t(u) имеет в точке и - 0 нуль третьего порядка, то ?,• = |г- (<)
определяются при малых t < 0 единственным образом как вещественные
аналитические продолжения функций ?, = ?, (t), заданных вначале при малых
t > 0. Действительно, поскольку t(u) - и3р(и), где р(0) ф 0,
локальная обратная функция и - u(t) может быть разложена в
з
вещественный ряд по степеням ~]ft. Следовательно, можно определить
функцию |i(f) при любых малых по абсолютному значению t. полагая gj(f) =
?*(ц(?)).
Тогда уравнения (2j), где т], = будут удовлетворяться
в силу соображений, основанных на аналитичности, также при t < 0.
§ 420. Таким образом особые точки, о которых упоминалось в § 410,
являются в случае парного столкновения при t = 0 алгебраическими, причем
локальной униформизирующей переменной з__________
служит так что ситуация такая же, как и в элементарном случае,
рассмотренном в §§ 268-269.
В частности, непосредственный анализ приведенного выше доказательства
показывает, что функция ?з(?) остается голоморфной в точке ? = 0, если т3
- тело, не участвующее в столкновении.
§ 420а. Если желательно, чтобы локальная униформизирующая переменная и
была пригодной для любой пары сталкивающихся тел и для любого момента
столкновения, то (9) можно заменить следующей формулой:
412
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Действительно, два из трех расстояний стремятся к случае парного
столкновения при t = 0 к одному и тому же положительному пределу, так что
опять t(u) = и3р(и), р(0) ф 0.
Заметим, что такой выбор переменной и в настоящей задаче эквивалентен
выбору переменной t в задаче, рассмотренной в dt
§§ 203-205, где ^=- пропорциональна произведению г\гг.
§ 421. Доказательство утверждения, приведенного в § 414 и касающегося
парного столкновения, теперь закончено. В оставшемся случае
одновременного столкновения утверждение, приведенное в § 414, имеет
двойственный характер. А именно, в этом случае ситуация
(i) может быть такой же, как в § 269 или в § 420, но также
(ii) может быть и иной.
Справедливость (i) при произвольно заданных значениях трех масс mi
подтверждается примером тех томографических (колли-нсарных или
треугольных) решений li = li(t), которые не обладают инвариантной
плоскостью (тогда С = 0). Действительно,
§ 378 показывает, что эти решения всегда существуют, и мы приходим именно
к той элементарной задаче, которая рассматривалась в §§ 268-269.
Доказательство (ii) будет дано в §§ 422-424. Будет показано, что пр
произвольно заданных значениях тп{ существуют решения'
где трехмерные векторы а,о, ан, Щг, ¦ ¦ ¦ при всех i - 1, 2, 3
вещественные и зависят от постоянных интегрирования. При этом не все три
a,i обращаются в нуль и ряды расположенные
по степеням t~s, имеют отличные от нуля радиусы сходимости. Наконец, s -
отрицательное число, зависящее лишь от заданных зпачений трех масс тп\ и
представляемое алгебраической функцией Таким образом, число s < 0
является рациональным лишь при исключительных значениях т,-. Тот факт,
что из существования решений (27) вытекает справедливость (ii), основан
на следующих соображениях.
Очевидно, что инерциальные барицентрические позиционные векторы (27)
стремятся при f ->-^0 к нулю, так что при t-*- +0 имеет место
