Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
так как 0, 1 - p., p. суть массы, a (x, y), (0, 0), (cos t, sin t) суть
координаты P, Pi, Pi соответственно.
Очевидно, что эти уравнения можно переписать в виде
х"=П^ у" = U у,
I де U неконсервативная силовая функция
Следовательно, уравнения движения обладают неконсервативной функцией
Лагранжа L, определяемой формулой
L = ±-(x'2 + y'2) + U, iU)
где
U = (х2 + у*)-'Ь + \iF{x, у, t), (U)
F = [ (х - cos t)2 + (у - sin t) 2]~l/s - (x2 + у2) ~'/г -
- (x cos i + у sin t). (13)
§ 442. Ограниченная задача трех тел была рассмотрена впервые Эйлером в
связи с одной из его теорий движения Луны. Однако математическое и
астрономическое значение этой схемы было понято значительно позднее.
Прежде всего Якоби указал, что эта задача является, по существу,
консервативной задачей с двумя степенями свободы. Чтобы это показать,
достаточно заменить (х, у) системой координат (s, л), вращающейся вокруг
общего начала (0, 0) и в которой Pz остается неподвижным. Таким образом,
1 = х cos t + у sin t, 1 ^2)
•*, J
Л = -x sin t -f- у cos 1
§§ 441-445, ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
427
причем Р2 будет иметь при любом t координаты (1, 0). Подставляя выражения
для х, у через g, т] в (12) - (1з), получим, что если положить в
соответствии с § 95 L = L, то
L = ~ (Г2+ л'2)+ (Ел' - Л Г) ¦+ {у (I2+ Л2)+ и), (34)
?/ = (12+л2)-,л + ^. (зг)
^ = [(1 - I)2 + Л2]-1'' + (I2 + Л2)-'7' - I- (Зз)
Из (Зг) -(З3) вытекает, что функция Лагранжа (3i) хотя и не-
обратима, но консервативна. В соответствии с изложенным в § 155
лагранжевы уравнения, описывающие движение Р,
[Zfc = 0, [L\x = 0 (3*)
допускают интеграл
у(I'2 + Л'2) - { } = const.
Этот интеграл, называемый интегралом Якоби, выражает факт постоянства
относительной энергии, причем член 7г(12 + л2) в { } представляет собой
силовую функцию центробежных сил, появляющихся благодаря вращению системы
(2), а член (gr]' - т]|') в (3i) соответствует кориолисовым силам.
Такая постановка ограниченной задачи трех тел становится основной сначала
в теории движения Луны, разработанной Делоне, а затем под ее очевидным
влиянием в работах последней четверти 19 века. С одной стороны, Хилл
развил к этому времени свою теорию движения Луны, опирающуюся на
уравнения (З4). Разработанная детально Брауном, эта теория является в
настоящее время наиболее точной, рассматривавшейся когда-либо в небесной
механике (как в теоретическом смысле, так и с точки зрения численных
расчетов). С другой стороны, оказалось, что схема ограниченной задачи
трех тел также дает приемлемое приближение во многих случаях движения
малых планет.
В то же самое время эта схема привлекла внимание Пуанкаре, и центральное
место в его работах по динамике занимала именно эта задача. Пуанкаре
рассматривал систему с функцией Лагранжа (ЗД как прототип тех
динамических систем, которые имеют две степени свободы и, в отличие от
систем с одной степенью свободы, не приводятся к квадратурам. В некотором
отношении необратимая система, определяемая функцией (3j), является более
сложной, чем простейшая "неинтегрируемая" система (обратимая и имеющая
две степени свободы). Конечно, некоторые данные свидетельствуют о том,
что топология ограниченной задачи трех
428
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
тел, а также и сама эта задача, хотя и достаточно сложные, являются
слишком простыми, чтобы характеризовать "общую" динамическую систему с
двумя степенями свободы. Но во всяком случае, почти все математически
значительные работы, способствовавшие прогрессу общей аналитической
механики в течение 20 века, в особенности работы Леви-Чивита и Биркгофа
по динамике систем, были связаны в той или иной мере с исследованием
ограниченной задачи трех тел.
В частности, анализ ограниченной задачи трех тел часто (хотя и не всегда)
позволял догадываться о некоторых результатах для общей задачи трех тел.
Например, регуляризация в ограниченной задаче (Тиле и Бурро, Леви-Чивита,
см. §§ 446-452) предшествовала регуляризации в общей задаче трех тел в
случае парных столкновений (Зундман, Леви-Чивита, см. §§ 415-420).
§ 443. В соответствии с § 442 тела Pi и Рг находятся соответственно в
точках (0, 0), (1, 0) вращающейся координатной системы (?, т)). Так как
массы Pi и Рг равны 1 - р и р соответственно, то центр масс имеет
координаты (р, 0). Целесообразно заменить систему (?, т)) новой
координатной системой (х,у) *), являющейся барицентрической, так что
I = х + р, Т) = у, (4)
причем (-р, 0) и (1 - р, 0) - новые фиксированные координаты Pi и Рг.
Новая координатная система (х, у) вращается равномерно вокруг центра масс
Pi и Рг.
Подставляя (4) в (3i) - (Зг), сразу получим
l = y^x'z + у+ (ху' ~ ух+ U(x' у)'
^______________+
|(г + р)2 + у2|,/г
+ | (as - 1 + р)* + у*| '/¦ * (5z)
если отбросить аддитивные члены рц' и V2P2. Это отбрасывание вполне
оправдано, так как (см. § 156) рц' равно производной G' функции G = рт),
а !/2р2 = const.
По причинам, которые будут ясны позднее (см. § 517), вращающаяся
