Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
является не только необходимым (§ 409), но и достаточным условием того,
чтобы по крайней мере одна из аналитических функций & (?) приобретала при
?->-+0 особенность. Действительно, если r (t) -"- 0, то, поскольку
JJ__ VI • mi mh
Pjh
И
- 2 mih - U - h - const,
2
в соответствии с (1) получим, что lim |Е/(?) | = 00 по крайней мере при
одном каком-нибудь i. Отсюда вытекает, что соответствующая функция ?i(?)
должна иметь при t = 0 особую точку
26 А. Уивтнер
402
ГЛАВА V. ЗАДАЛА МНОГИХ ТЕЛ
(хотя само li(t) может стремиться при к конечному преде-
лу; например, такой является функция ?3/з).
§ 411. К сожалению, теоретико-функциональный характер этих особых точек
при га > 3 остается неизвестным. Затруднения начинаются уже с того, что
отсутствует адекватная кинематическая интерпретация необходимого и
достаточного условия lim r(t) - 0.
В соответствии с (1) можно было бы попытаться интерпретировать это
условие, как соответствующее столкновение некоторых из га тел при t -*¦
+0. Однако законность такой интерпретации может быть обоснована в
настоящее время лишь при га ^ 3 (см. §§ 365-367; если га = 2, то этот
результат очевиден в силу § 343, так как + /га2?2 = 0). Трудность
заключается в том, что величина (1) может стремиться при t-*~ +0 к нулю и
тогда, когда ни одно из Vzп(п- 1) взаимных расстояний Pjh(?) к нулю не
стремится, поскольку эти расстояния обмениваются при t -*¦ -J-0
бесконечное число раз ролью минимального расстояния (см. пример
неньютонианской задачи в § 374а). Другими словами, условие r(t) ->- 0
соответствует "столкновению" лишь тогда, когда каждое взаимное расстояние
стремится к пределу. Однако в настоящее время о таком стремлении к
пределу нельзя утверждать ни при каком га > 3. Но даже тогда, если бы
смогли это сделать, отсюда никак не следует, что "столкновение" должно
иметь место в определенной точке барицентрической инерциальной системы
координат |, поскольку доказательство существования предельных положений
lim?i(?) все еще отсутствовало бы (см. § 365).
§ 411а. Остается даже неизвестным, все или же не все |?i(f)| < const,
если /¦(?)->-0 при f ->-[-0. Можно лишь утверждать, что величина
7 = 2 то* ?*
должна стремиться к пределу (^ 0), который может быть равен -f-oo.
Действительно, так как
J" = 217 + 4/1,
где
• rrij /га*.
Pjfe
н h - const, то очевидно, что условие r(t) ->-0 эквивалентно условию
J"(t) -*¦ +оо. Таким образом, функция J = J(t) в достаточно малой
окрестности момента t - 0 выпуклая и стремится, следовательно, к пределу
-f-oo.
§§ 407-414. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ
403
§ 412. Здесь и дальше предположим, что п = 3, так что r(t) = r= Min(plz,
pi3, Ргз),
(50
(5з)
Pift ^ Pi] + Pjft,
причем (5г) представляет собой неравенство для сторон треугольника (mi,
m2, m3), который может выродиться в прямолинейный отрезок.
Прежде всего покажем, что если (5i) удовлетворяет условию r(t) -*¦ 0 при
t-*~ +0 (см. §§ 409-410), то по крайней мерс одно из трех расстояний pjfc
(t) стремится к нулю._
Действительно, предположим, что все три lim Pjh(t) ¦> 0. Тогда (5i) может
стремиться к нулю лишь в том случае, когда по крайней мере два из трех
pjfc, например ры и ргз, обмениваются при t -> +0 бесконечное число раз
ролью наименьшего расстояния среди трех р3* при фиксированном t.
Обозначим через t\, t2,... моменты, когда происходит эта перемена ролями
между pi3 и ргз, так что pis(Z) и ргз(*) имеют при любом t = tm общее
значение (5Д, a tm ->- -j-О при m->-oо. Так как r(t) ->- 0 при t +0, то
Р1з(^т) и ргз(^т) стремятся при т->-оо к нулю. Но тогда в силу (5г) также
pi2(tm) -"-0, и поскольку все три рдДгт) ->-0, то согласно (12г) §
333 J(tm)-+ 0 при т-"-оо. Следовательно,
lim/(?) = 0 при t -*¦ -1-0. Но согласно § 411а всегда lim J(t) = -
lim/(i) и, следовательно, J(t) ->-0 при t-*~ +0. В соответствии с (12Д §
333 это означает, что все три Pjh(t) 0, и мы приходим к противоречию с
предположением, что все три lim ррДО > 0.
Этим самым доказано, что по крайней мере одно Pjk(t) 0. Выберем
обозначения так, что
§ 412а. Из сказанного вытекает, что предел lim7(?) ^ +°°, о существовании
которого говорилось в § 411а, не может быть равным +оо.
Действительно, предположим, что предел функции 7(f), определяемой по
формуле (12г) § 333, равен + оо. Тогда в силу (6) - (6i) Pis(^) --1- °о,
ргз(?)+°°, так что т3 не приближается сколь угодно близко к т( и т2 при
t-*~ +0. Но так как piz(f) 0, то mi и т2 должны участвовать тогда в
парном столкновении (см. § 349). Следовательно, применимы результаты §
352, которые показывают, что для всех трех li(t), а также для р-1з(?) = =
|?i (t) -?з(0 I существуют конечные пределы.
Тогда в силу (52)
Р1з(0 - ргз (0 -> 0.
Pi2 (i) -"- 0.
(6)
(61)
26*
404
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Противоречие, к которому мы пришли, доказывает, что lim 7(f) < +00.
Используя же опять (122) § 333, придем на основании (6) - (61) к выводу,
что Р1з(0 и ргз(0 стремятся к общему конечному пределу ^ 0.
