Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 156

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 202 >> Следующая

определенной в § 394 независимо от выбора системы координат.
§ 436. Остается определить те решения задачи трех тел, для которых
предположение i(?) =f= const для натуральных гамильтоновых уравнений
предыдущего параграфа нарушается. Это обязательно будет в случае плоского
решения, так как тогда i(t) - = const = 0. Однако плоские решения можно
не рассматривать, так как для них можно получить (см. § 399) гамильтонову
систему в том же виде, но где роль независимой переменной играет t, а не
i, и функция Гамильтона консервативная. Однако равенство i(?) = const
может иметь место также и для некоторых неплоских решений. Действительно,
на основании изложенного в § 346 легко установить, что наклонность i
постоянна и равна V2JI для обоих типов (i), (ii) пространственных
равнобедренных решений. Насколько можно судить по известным в настоящее
время
422
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
данным, других таких случаев, когда i(t) = const, возможно, не
существует. Однако вопрос о выделении всех решений, для которых i(t) -
const, является, по-видимому, сложным (хотя ответ может быть
тривиальным). Возможно, что он связан с теоретикофункциональными
соображениями, аналогичными тем, которые приведены в § 389. Во всяком
случае, не очевидно, что не допускается равенство i(t) = const, где const
отлична от нуля и '/гл, и что const =' 7гя лишь для равнобедренных
решений.
§ 437. Пусть постоянная \С\ в (33) § 394 и энергия h фиксированы.
Обозначим тогда через М7 = М7(|С,|) множество (точнее говоря,
совокупность точек в 7-мерном пространстве), которое выделяется из 8-
мерного фазового пространства переменных систем
(32) § 394 после изоэнергетической редукции.
Более точно можно определить М7 как геометрическое место тех точек
допустимой области (I, l, ..., Рз, р3), в которых функция (33) § 394
принимает постоянное значение А, причем слово "допустимой" означает, что
структура этой области отвечает некоторым требованиям. Например,
наклонность i должна рассматриваться как угловая переменная (mod л), а
если требуется (как и в § 394), чтобы треугольник Д был невырожденным, то
подпространство трех расстояний р,- должно определяться неравенствами 0 <
pi < Р7 + Ph- Фактически полное многообразие всех возможных состояний
движения в задаче трех тел получим лишь в том случае, если также включим,
с одной стороны, предельные случаи сизигий и коллинеарных решений, когда
,| А | = О <Г pi = pj -f- Ph для одной какой-либо системы индексов i. j,
к и, с другой стороны, предельные случаи парных и одновременных
столкновений, когда по крайней мере одно pi = 0. Действительно, в §§ 498-
500 мы увидим на сравнительно простом примере, насколько существенными
являются столкновения для понимания топологической структуры. Конечно,
лишь детальный анализ позволит решить, какова допустимая область (I, l,
Pi, Р2, Рз) в случае, когда (pi, р2, рз) соответствует какому-либо из
предельных случаев.
§ 438. Из всех этих замечаний вытекает, что топология множества М7 = М7
(| С [) подразумевается совпадающей с топологией тех состояний
приведенной задачи трех тел, которые совместимы с заданными значениями
постоянных \С\, h, не меняющимися вдоль любых интегральных кривых
уравнений (9i) § 384. Таким образом, с топологической точки зрения
множество М7 при фиксированных ] С |, h внутренне связано с задачей трех
тел (так что, в частности, М7 не зависит от выбора фазовых переменных и
поэтому может быть также определено с помощью (10i) - (103)
§§ 426-440. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
423
§ 384 и Z/(rii,..., ?3) = К). Описание свойств М7 могло бы иметь
фундаментальное значение (см. § 227). К сожалению, никаких конкретных
сведений о топологической структуре М7 мы не имеем.
§ 439. Исключим предельный случай коллинеарных решений, заполняющих
пространство с меньшим числом измерений. Тогда легко показать, что
множество М7 (| С |, h) не содержит интегральных кривых, состоящих из
особых и только из особых точек этого множества, если только |С|, h не
удовлетворяют условию 1 + | С012 = 0 (упомянутому в конце § 378, где |
С01, h° опре-
деляются в зависимости от \С\, h и (mi, m2, m3) по формулам, приведенным
в §§ 375, 378). С другой стороны, если \С\ и h удовлетворяют условию 1 +
h° | С0]2 = 0 и определяют, таким образом, либрационные треугольные
решения, то эти решения соответствуют изолированным точкам (а не кривым)
соответствующего множества М7(|С|, h), причем эти изолированные точки
оказываются особыми точками М7.
Доказательство может быть проведено следующим образом. Так как нет
необходимости рассматривать особые точки pi = 0 и А = 0 функции (33) §
394, то из примечания в § 394 видно, что вдоль рассматриваемых
исключительных решений функцию
(33) можно предположить регулярной аналитической. Но тогда множество М7,
определяемое соотношением Н = const = h, не может иметь особую точку, в
которой частные производные первого порядка функции (33) § 394 восьми
переменных не обращаются одновременно в нуль. Следовательно, уравнения
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed