Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 149

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 202 >> Следующая

§ 413. Сравнивая этот результат с § 409, видим, что если решение gi =
g,(?) задачи п - 3 тел существует и является голоморфным при малых ? > 0
и если по крайней мере один компонент любого из трех векторов gi (?)
имеет при ? = 0 особую точку, то возможны при ?->-+0 лишь два случая: а)
все три рjh(t) стремятся к нулю; б) одно из pj&(?) стремится к нулю, а
два других стремятся к общему положительному конечному пределу. Другими
словами, имеет место либо одновременное столкновение в указанном в § 335
смысле, либо парные столкновения (см. § 349).
В первом случае все три gi(?) стремятся к центру масс g = 0 так, как это
было указано в § 367, и в соответствии с (24) § 365. Во втором случае ни
одно из gi (?) не может стремиться к g = 0, и если сталкивающиеся тела
обозначить через тi и т2, то в соответствии с § 352 существуют конечные
пределы
0 ф g? = g2 Ф g3° Ф 0, (7i)
(78)
Р13 = ргз (>0), (7з)
где верхний индекс (°) относится к lim ? = -j-0. Более того, в силу (29)
§ 350 и. (28в) § 349
pl2 ~ (81)
где
ч.
и если через Xi обозначен вектор относительного положения h - Si, то
+ (1^1 = р1). (82)
и
В первом случае С - 0 согласно § 335, так что решение должно быть плоским
(см. § 326). Во втором случае С может и не обращаться в нуль, и если С
=*= 0, то решение может не быть плоским. Наконец, если оно не плоское
(как это имеет место в общем случае), то все три тела mi стремятся (см. §
353) к положениям, находящимся в инвариантной плоскости.
§§ 407-414. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ
405
§ 414. Возникает вопрос о том, допускают ли три аналитические вектор-
функции h{t), определенные при 0 < ?-"-f-О, вещественное аналитическое
продолжение в точке столкновения t = 0 в сторону малых отрицательных t;
см. §§ 265-269. Мы покажем, что ответ на этот вопрос всегда положителен в
случае парного столкновения (см. §§ 415-420), но не обязательно
положительный в случае одновременного столкновения (см. §§ 421-424). В
последнем случае ответ зависит от численных значений масс яг* и
постоянных интегрирования.
В §§ 268-269 локально параметризующей переменной была истинная аномалия
и, пропорциональная согласно (Зг) § 259 неопределенному интегралу от
обратного расстояния. Следовательно, замечание в § 349 наводит на мысль,
что в случае парного столкновения можно попытаться регуляризировать
задачу с помощью введения вместо t независимой переменной
с d?
и = "(*)=}-7т\~ (Ри = |Б1 -Ы)- (9)
0 Р12(0
В соответствии с (8*) подынтегральное выражение в последней формуле
обращается при t -*- +0 в бесконечность порядка 2/з, так что этот
интеграл существует при t > 0 и
и " 3p,-1f,/j (р > 0) (10)
при t 0.
§ 414а. В случае одновременного столкновения не только одно, но каждое из
трех обратных расстояний обращается в бесконечность интегрируемого
порядка 2/з (см. § 364 и (24) § 365а). Так как (73) - (8*) справедливы
для парного столкновения, то независимо от того, будет ли столкновение
одновременным или парным, силовая функция
U(t)=D=
PiA
обращается в бесконечность порядка 2/з. В силу тождественного соотношения
J"=2U + 4h
этот факт имеет место и для 7" = Следовательно, и при од-
новременном и при парном столкновении V = J'(t) стремится к конечному
пределу.
408 ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ TEUI
ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР СТОЛКНОВЕНИЙ
§ 415. Оставляя пока в стороне проблему особых точек, соберем формулы,
соответствующие (18) § 386, если п = 3. Мы имеем
У$ = -Я^, х' = яг., (110
Г7 1 .,-1 v2 . 1 ,.-1 v!
в = -Mi Yi +-m2 y2 - 2j . (И2)
2 2 p lh
где j = 1,2(=п-1),вв силу (203) - (21i) § 387
, /,0 ^
Vj =----------, p,2 =* mi + та2, (12i)
P*
Рз'з = IX, - (-1)J VjXi I, (120
Pia = 1^1- (120
Наконец, (190 § 387 и (25) § 387 можно переписать в виде
М1 = м}пч, М2 = ^-, (13,)
Р
ii =¦(-1) ^ vj-X'i - ^"*/713X2, (13г)
1з = (1-^)х2. (130
Введем далее вместо четырех 3-векторов Yj, Xj четыре 3-вектора Pj, Qj по
формулам
= Qi = Y?X1-2(Y1X])Y1, (140
Рг = Y2, Qz - Хг, (14г)
Так как преобразование (140 является с точностью до обозначений полностью
каноническим и инволюционным (см. § 50), а преобразование (142)
тождественным, то преобразование (140 - (14г) будет в силу § 33 полностью
каноническим и инволюционным. Таким образом, (14,) - (142) обладает
обратным преобразованием
= Xi = PiQ-2{PrQ1)Pi, (150
Р\
Y2 = Рг, X2 = Qz, (15,)
§§ 415-425. ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОН. ХАРАКТЕР СТОЛКНОВЕНИЙ 407
преобразующим (lli) -(112) в
Pi - Hq ^ Qj = Др., (16i)
H=H(PuPbQuQz). (16.)
Для вычисления (16г) заметим, что если положить х = 2Xi ¦ Х2, то в силу
(15i) - (152)"
* "('Aft-ft ft-ел (17)
4 \ Р2 • Qz Qi-Qz/
и (как уже указывалось в § 50)
р№= 1, (180
p\q!= yUI (18,)
Pi-(?i+71*1 = 0 (183)
в силу (14i). Из (18i) - (I82), (14г), (122) вытекает, что
Х? = (Р?)*(?и (190
*2 = Ql (19,)
рд = xi- (-1) j VjX + Vj xl
(193)
Выражая в (112) У12, У22 согласно (180, (15г) и три pj^ = = Pjh(P, Q)
согласно (123), (19,)-- (193), получим для (162) следующее явное
представление:
Я =
Р2 лч т2
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed