Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
(32) § 394 показывают, что все восемь фазовых переменных I,..., рз не
должны зависеть от t вдоль рассматриваемых исключительных решений. Так
как, в частности, р, не зависят от t и соответствуют, следовательно,
решению относительного равновесия, то из § 367 и в силу исключения
коллинеарных решений следует, что три постоянные р, = р определяют
равносторонний треугольник. Этот факт с учетом (32) - (33) § 394 и (ii) §
371 сразу показывает, что I, I, Р,- также не зависят от i и определяют
вместе с р, - р особую точку множества М7. Доказательство закончено.
§ 440. Как это следует из §§ 200-201, каждое новое поколение обычно
старается по своему интерпретировать существо "проблем" в задаче трех
тел. До тех пор, пока Биркгоф не реализовал геометрические идеи Пуанкаре
о динамических системах с двумя степенями свободы, ответ на вопрос об
этих проблемах был обычно таков: с одной стороны, задача трех тел не
может быть "решена" ввиду установленного факта отсутствия интегралов
специального вида (см. §§ 129, 320а), но, с другой стороны, задачу
424
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
трех тел можно рассматривать как "решенную" ввиду сходимости некоторых
рядов вдоль всей оси t (см. § 432а). В настоящее время существует мнение,
что первая часть этого утверждения не точна, а вторая бессодержательна и
что следует формулировать проблему в терминах "несжимаемого потока" в
семимерном многообразии следующим образом.
Рассмотрим при фиксированной паре постоянных | С |, h все те решения =
?i(?) задачи трех тел, которые являются непрерывно продолжаемыми при всех
-оо < t < +°°, причем последнее ограничение необходимо наложить лишь в
случае С - 0. Как при С - 0, так и при С ф 0 состояние, соответствующее
решению Si = ^(?); i = 1,2,3, при фиксированном t, представляется точкой
в множестве М7 = М7 (|С|, h). Таким образом, все решение li = li(t), -оо
< f < -foo (i = 1, 2, 3), целиком представляется в М7 = М7 (| С |, h)
кривой, вырождающейся в точку в случае, когда (f) - решение
относительного равновесия. Эти оо7
кривых, не пересекающихся друг с другом, определяют в М7 = = М7 (\ С\, h)
группу преобразований т*, -оо < t < +оо, аналогичных тем, которые
указывались в § 121 (по крайней мере, если случай С - 0, соответствующий
неограниченно продолжаемому решению, или, точнее говоря, если все такие
решения из М7 (0, К) исключены). Легко проверить, что "поток" кривых,
определяемых в М7 (| С |, К) группой преобразований т* = т* (| С |, К), -
оо < t < +о°, несжимаем в указанном в § 122 смысле, если топологическое
множество М7 рассматривается в каноническом фазовом пространстве
(например, в пространстве переменных (I,..., рз) уравнений (32) § 394).
Анализ задачи трех тел при произвольно фиксированных |С|, h связан, таким
образом, с топологическим исследованием этого потока.
ГЛАВА VI
ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
Ограниченная аадача трех тел Регуляризация
Сизигийная потенциальная кривая Потенциальная поверхность
§§ 441-445 §§ 446-461
§§ 462-468
§§ 469-477
Пространственная ограниченная задача §§ 478-488
Спутниковые системы Периодическая орбита Луны Теория движения Луны
§§ 489-502
§§ 503-515 §§ 516-529
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
§ 441. Обозначим через Pi и Р2 две материальные точки в задаче п = 2 тел.
Пусть общая масса Pi и Рг равна единице, так что если масса Р2 обозначена
через (х, то масса Pt равна 1 - (х. В соответствии с § 343 (и с § 207)
уравнения движения Pi и Р2 имеют вид (2i) § 241, где х, у - прямоугольные
координаты Р2 на плоскости (х, у), в которой всегда находится Р2, а Pi
расположено в начале координат с осями, параллельными осям инерциальной
координатной системы.
Предположим, в частности, что Р2 движется вокруг Pi по кругу. Выберем
радиус этого круга за единицу расстояния. В соответствии с § 276
материальная точка Р2 будет двигаться тогда с постоянной угловой
скоростью п, причем л2 -13 = 1, так что можно положить без потери
общности (см. в конце § 214) п = +1. Таким образом, если направление оси
х выбрано так, что Р2 расположено при t - 0 на положительном направлении
оси х, то координаты Р2 равны (cos t, sin t) при любом t.
Рассмотрим теперь третью материальную точку Р, движущуюся в плоскости (х,
у) под влиянием ньютонианского притяжения Pi и Рг, но не возмущающую
кеплерово движение Pi и Р2. Хотя это предположение и не находится в
согласии с законом притяжения Ньютона, но оно достаточно хорошо отражает
фактическое положение в том случае, когда масса "бесконечно малого" тела
Р намного меньше массы любого из "конечных" тел Pi и Р2. Задача о
движении Р в такой схеме называется ограниченной задачей трех тел.
Эта задача имеет две степени свободы. Действительно, если через х, у
обозначить координаты тела Р, то в соответствии с
426 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
(lli) - (Иг) § 342 имеем
2' + (1-ц + 0)-------------;г = СЬ
у" + (1 - и + 0)--------%-п- = Q-,
У У г (х2 + у S)/* "
где
n / 1 х cos t + у sin t \
\ | (х- cos t)2-\-(y-sin?)211/a |cos2f + sin2?|a/a /'
