Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
знака корня s( и s/ и применим формулу бивома Ньютона, ограничившись членами второго порядка; это дает:
из этих приближенных формул с той же степенью точности находим:
(139,5)
sin»/ ~Р; '
sin щ __ pi __ \/{n — s/)2 -f _r,s — 2r{ (rt — */) cos
Далее заменим точные значения отрезков s, и s/ суммами s(. ^
и s/ -ь os/, введем высоту h( равную г( , и инвариант Аббе Qti по формуле (127,1); тогда получим:
§ 139'• О коэффициенте Зейделя «Sjj ; кома, условия апланатизма и изопланатизма 471
Применим выведенные формулы последовательно для всех к поверхностей системы в таком виде:
щ sin ttt _щр?
п/ sin и/ nl Pi
Tig sin U2 _ n2Pi
sin 1^ V Pi
71* sin И* _ nipi
njc' sin щ' nk Pi
Так как ы/=ы<+1 и n/ = nj+1, то после перемножения всех уравнений находим: '
i=i
пг sin ui _ ni "Pf Pi
"i sm«, щ 1 1 Pi
i=z 1
П
где знак I I означает произведение одинакового вида дробей. После
р'
подстановки вместо отношений найденных только-что значений при-
Pi
меняем известные формулы для нахождения приближенного значения произведения такого вида:
i—k
(l+a^l + o,) ... (l-4-cg = l-4- V aft
где at- малые по сравнению с единицею величины. Это дает:
П] sm Н] ______________ л*
п/ sin щ' щ'
По формуле (85,6)
ТТ-
S( 2 ^ ne« Si XI si
i— 1 i=1 J *=1
i—k
П
V _ щ *i "1
p,
где (3 — поперечное увеличение всей оптической системы.
Итак:
Т" %-4—1 = У А—---------------------тУ А,.2(?9<Д— • .(139,6)
nh' sin и/ р S, 2 n, s, \ » /
i=1 «=1
Для преобразования первой суммы воспользуемся легко проверяемым тожеством:
472
Глава XI. Теория аберраций третьего порядка
аналогичное равенство можно написать для тех же величин после преломления и следовательно:
Д — _ Д _J?L _4_____________I_____Д .
Si С>Я!—
Заменяем разность в последнем члене ее значением по формуле (116,12), подставляем в формулу (139:6) найденное значение разности Д —-и после приведения находим:
«'=¦*
А*
, • -=---i=— ¦» л-----=------— ¦* _
Л* sin Ut
V Д l=r* 1 ^
Xi—Si 2 ^ <?*
i=l • =1
Xf ==</,_]
между вершинами поверхностей с номерами г — 1 и г, то
si—1
•*' '< xi-\ — si_l
в первой сумме остаются только два члена принимаем,
что Ssj = 0.
Во второй сумме заменяем разность Qxi — Qsi ее значением по формуле (127,12), умножаем и делим каждый член суммы на h* и заменяем
А-2
отношение =V конечных высот не отличающимся от него отношением
А2
высот параксиальных лучей, т. е. отношением • Приняв во внимание определение (130,6), находим:
я, sin к, 1 _ _----5.^_ __ h *_Xl Sl s ' (139 7)
»**«“» * ** — Ч —*:) 11 '
Формула дает приближенное выражение для отступления от закона синусов. Продольную сферическую аберрацию можно заменить ее выражением по формуле (130,12); далее можно воспользоваться форму-
лой (82,12) для увеличения х и формулой (123,7) для замены отрезка xt'—' VPi) отрезком -г,—s, (=/?,); в результате получим:
8sj' __ Э (и*!2 -I- My) S;4 л
П1^Р1й 1
Во втором члене можно заменить Л,2 его значением по формуле:
• (139,8)
1*1-- *1Г
Таким образом формулу (139,7) можно написать в следующем виде:
«t
И” “1, _ 1 = (ЛЬ. Sl-Sn). (139,9)
* sm ut Pl3 \nji3p I 1 И/ \ > t
§ 139. О коэффициенте Зейделя SlI; кома, условия апланатизма и изопланатизма 473
Если система исправлена в отношении сферической аберрации и комы третьего порядка, т. е. если *Sr == 0, Ss/ = 0 и = 0, то формулы (139,7) и (139,9) приводят к закону синусов. Если 511 = 0, но 5i не равно нулю, получается условие Штебле — Лигоцкого (изопланатиче-ское изображение).
Формула (139,7) может служить для приближенного вычисления величины к, которая согласно определению (139,1) характеризует кому меридиональных лучей, выходящих из точки вне оси на расстоянии /х от оси и пересекающих плоскость выходного зрачка в точках с координатами -+- т, и — 772[. Определяем Sn из уравнения (139,2), подставляем в формулу (139,7) найденчое значение 5Ш заменив при этом h* его значением по формуле (139,8); получаем:
k = Ml (JbLи- здрз-.-!). (139,10)
Hj \х —s' prtt am щ / v
Для вычисления к по формуле (139,1) необходимо рассчитать ход главного луча и двух меридиональных лучей с вышеназванными координатами. Вместо этого можно вычислить к по приближенной формуле (139,10), пользуясь результатами расчета двух лучей из точки на оси: одного параксиального луча и другого луча, для которого угол щ с осью определяется формулой:
га,
tg щ —------------
S г *, — Sl
Результаты расчета дают сферическую аберрацию луча bst' и отступление от закона синусов, т. е. разногть
П-i Sin Ui
$ril sin Ui
1;
значение к, определенное по формуле (239,10) для не очень больших углов Up обычно мало отличается от точного результата тригонометрических расчетов.
Чтобы сделать возможным применение формулы (139,10) к случаю бесконечно удаленного предмета, прежде всего заменяем равным ему //, остающимся конечным для всех значений расстояния Sjj далее заменяем sin щ согласно формулам (112,4) и (112,5) отношением h:a, где Л высота точки пересечения лучом вспомогательной „главной" сферы н а расстояние точки предмета от первой главной точки. Согласно формулам (80,3) и (80,2)
