Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
После подстановки приходим к уравнению:
¦S’]., — [2*SV *- (у/-1)] у ¦ 31ху2 = 0. (142,7)
Это квадратное уравнение имеет два, вещественных корня, если его коэффициенты удовлетворяют неравенству:
fa+gftW-vJ-s.AX*
в этом случае две плоскости предметов имеют астигматическое изображение.
Уравнение имеет равные корни, если
астигматическое изображение имеет одна плоскость предметов. Если
не существует плоскости, имеющей астигматическое изображение.
г) Если для какой-нибудь плоскости изображений при определенном положении входного врачка первые три коэффициента равны нулю, т. е.
§142. Зависимость коэффиц. .Ущ от положения предмета и входного зрачка 485
если = 0, то согласно уравнениям (135,2) эти коэффициенты
равны нулю также и прн всяком другом положении действующей диафрагмы; некоторая часть плоскости вблизи оптической оси имеет апланатическое изображение, свободное притом от астигматизма; назовем его стигматическим.
Положим, что для какого-нибудь положения плоскости предметов при определенном положении входного зрачка шесть коэффициентов аберраций не равны нулю. Найдем положение той плоскости предметов, которая имеет стигматическое изображение. Это положение определяется тем значением расстояния sJ( которое обращает в нуль и
в формулах (136,11), т. е. является общим корнем уравнений:
Вместо этих уравнений будем рассматривать следующую эквивалентную им комбинацию:
Обе части первого уравнения могут быть сокращены на Д2, обе части второго уравнения — на Аг; утрачиваемый при этом корень уравнений (si = Xj) непригоден для решения задачи, как это было выяснено раньше по другим поводам.
Вводим вспомогательную неизвестную у, определяя ее формулой
(142,6); система уравнений (142,8) после подстановок может быть приведена к следующей системе:
Если эти уравнения, второй степени относительно у, не имеют общих вещественных корней, то оптическая система не может иметь ни одного стигматического изображения, т. е. в апланатических точках ее астигматизм не может быть исправлен.
Оптическая система не может иметь более двух плоскостей стигматических изображений, так как система трех квадратных уравнений не может иметь более двух общих вещественных корней.
Положим, что уравнения имеют два общих вещественных корня, н, следовательно, система имеет две плоскости, обладающие стигматическими изображениями. Примем одну из этих плоскостей за исходную плоскость предметов; тогда для этой плоскости
)
/
(142,8)
(142,9)
5Ш _ [2V*- (Т/ - D> ^ 3. У2 = О-
486 Г лава XI. Теория аберрации третьего порядка
при этом, как было отмечено, эти коэффициенты равны нулю при всяком другом положении входного зрачка. Поместим действующую диафрагму во второй плоскости, имеющей стигматическое изображение; тогда первые три коэффициента аберраций в выходном зрачке окажутся равными нулю, т. е.
~ *S] 1 * ~ 11х~
Принимая во внимание формулу (134,5), находим:
*»=??? br,-V=o.
В этом случае у = у' и ур'—: у", где у' и у" угловые увеличения в обеих плоскостях стигматических изображений. Итак,
Y ‘f— 1, (142,10)
т. е. угловое увеличение в одной из двух сопряженных плоскостей имеет значения, обратное угловому увеличению во второй. Обозначим расстояния обеих пар плоскостей от наружных поверхностей оптической системы буквами: s1 и s/, s2 и s./, а такие же расстояния фокусов — sF и s'F,; тогда имеем:
f' «'(«/ — »'*,) ’
_ S2—*F________ Л/
‘ / lb' (s./ -S
Принимая во внимание уравнение (142,10), находим:
si sf ~ ^ [s2 v);
п' / i i ^
S2 SP--------- n (Sl. S
Рассмотрим частный случай, когда уравнения (142,9) имеют общий
вещественный корень двойной кратности, т. е. когда оба корня равны.
Принимаем плоскость, имеющую стигматическое изображение, за плоскость предметов; тогда в уравнениях (142,9)
^ = ^п=5ш-0.
Первое очевидное решение уравнений: #=0; уравнения, получающиеся после сокращения исходных уравнений на у, должны иметь тот жб корень: у — 0. Следовательно, коэффициенты членов, содержащих в исходных уравнениях у в первой степени, должны быть равны нулю, т. е.
У2 — 1 — 0; п, Р, S1V н- ~~ I" ' 0; 5уи-^^(ург —1) = 0.
Первое ив этих уравнений вытекает непосредственно из уравнения (142,10), так как у' = у=у; оно показывает, что в рассматриваемом случае
§ 142. Зависимость коэффиц. Slit от положения предмета и входною зрачка 487
плоскость предметов, имеющая стигматическое изображение, находится в одной из узловых точек (у=1) или в одной из точек с. угловым увеличением — 1 (у = —1). Из остальных уравнений вытекает, что коэффициенты Sjy и SY должны иметь различные значения в зависимости от величины ур, т. е. от положения действующей диафрагмы.
Возможна система, дающая стигматические изображения всех плоскостей пространства предметов. Йз уравнений (142,9) следует, что у такой системы должны быть выполнены следующие условия:
Как уже было отмечено при рассмотрении уравнения (140,8), оптическая система, удовлетворяющая последним трем условиям, есть телескопическая система с увеличением у, равным ± 1.
д) Возможны оптические системы, дающие анастигматические изображения всех плоскостей пространства предметов при неизменном положении действующей диафрагмы. Из формулы (142,2), определяющей коэффициент для различных плоскостей изображения, ясно, что указанным свойством обладает система, у которой коэффициенты аберраций для некоторого исходного положения плоскости предметов удовлетворяют следующим условиям:
