Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если Су и Сг не равны нулю, то существует направление, определяемое углом <р0, для которого постоянная закона косинусов равна нулю; для этого направления из уравнения (109,12) находим:
Вдоль этого направления оптическая длина луча между сопряженными точками ие изменяется, сохраняет неизменное значение для всех соседних точек.
§ 110. Совершенное изображение элемента объема
Для того, чтобы бесконечно малый элемент пространства изображался реальной оптической системой без погрешностей, т. е. чтобы все лучи широких пучков, выходящих из каждой точки объема, точно проходили через сопряженную точку пространства изображений, необходимо и достаточно, чтобы закон косинусов (108,1) выполнялся для каких-нибудь трех элементарных отрезков, проходящих через одну точку изображаемого элемента объема и не лежащих в одной плоскости.
Доказательство вполне аналогично доказательству в § 109 такой же теоремы для элементов площади. Согласно закону косинусов (103,1) напишем три уравнения, подобных уравнениям (109,1), для трех элементарных отрезков dllt dl2 и dl./, умножаем каждое из уравнений на постоянные а, Ь и с и складываем их. Эти постоянные подбираем таким образом, что сумма векторов adlv bdb и cdl-j была равна заданному четвертому элементарному вектору dlv Найдя числа о, бис, определяем в пространстве изображений вектор dl4\ удовлетворяющий закону косинусов и, следовательно, являющийся совершенным изображением вектора <//4. Нет надобности излагать весь вывод более подробно.
Допустим, что три условия существования изображения элемента объема выполнены: всякий элементарный отрезок, проходящий через данную точку пространства предметов, изображается оптической системой без погрешностей с линейным увеличением, определенным для данного направления. Выбираем два направления, для которых линейные увеличения элементарных отрезков имеют наибольшее и наименьшее значения; в предыдущем § 109 было доказано, что эти направления, как и сопряженные им направления в пространстве изображений, взаимно перпендикулярны, i 1роводим в пространстве предметов через ту же точку третий элементарный отрезок, перпендикулярный первым двум, изображающимся с наибольшим и наименьшим увеличениями; через этот отрезок и отрезок, изображаемый с наибольшим увеличением, проводим плоскость. Так как в сопряженной с нею плоскости третий отрезок изображается с наименьшим для этой плоскости увеличением, то его изображение должно быть перпендикулярно изображению отрезка с наибольшим увеличением. Проводим вторую плоскость через тот же третий отрезок и отрезок с наименьшим увеличением; в сопряженной с нею плоскости третий отрезок изображается с наибольшим для этой плоскости увеличением. Следовательно, изображение третьего отрезка одновременно
366 Глава X. Изображения, даваемые оптическими системами, и их погрешности
должно быть перпендикулярным также и изображению отрезка с наимень~. ипш увеличением, т. е. это изображение расположено на перпендикуляре к изображениям первых двух.
Таким образом, если элемент объема имеет совершенное изображение, то существуют три пары сопряженных отрезков, взанмно перпендикулярных в обоих пространствах.
Выберем направления этих отрезков за направления координатных осей в обоих пространствах; обозначим косинусы углов, образуемых с осями каким-нибудь лучом, буквами \ jx, ч и V, и/, ¦/, а линейные увеличения в направлениях координатных осей $г, а Согласно закону косинусов (108,5) имеем:
Определяем из уравнений (110,1) косинусы л', ц' и v' и подставляем найденные значения в уравнение (110,3)*, это дает:
Это уравнение должно тождественно совпадать с уравнением (110,2)„ что возможно только в том случае, если
Этот результат показывает, что совершенное изображение элемента объема пространства возможно только в том частном случае, когда линейное увеличение равно отношению показателей преломления пространства предметов и изображений; существование системы, дающей совершенное изображение элемента объема в общем случае с другим заданным увеличением, невозможно и, следовательно, невозможно физическое осуществление идеальной оптической системы.
Условие (110,4) выполняется в узловых точках всякой оптической системы, имеющей ось симметрии, т. е. оптическую ось, как это следует из формулы (82,10) (а =. ?) и из сказанного в § 85, п. в).
Кроме того:
(110,2) (110,3>
(л (А -+- Си)2
(nvj-G?
п'а V ~ 1
Из последних уравнений следует:
или
(110,4)
§ 111. Закон косинусов о оптической системе с осевой симметрией. 367
§ 111. Закон косинусов в применении к оптической системе
с осевой симметрией
Применение закона косинусов к обычным оптическим системам, образуемым сферическими центрированными поверхностями и потому имеющим оптическую ось (ось симметрии), дает необходимые и достаточные условия, при соблюдении которых реальные оптические системы дают совершенные изображения бесконечно малых отрезков и площадей широкими пучками лучей.
а) Условие Гершеля для элемента оптической оси реальной системы. Положим, что оптическая система ОО' (рис. 191) дает совершенное изображение элемента оси SyS,, (= dx) в точках -5/ и S./; сопряженный элемент SiS2' (= dx'); все лучи, вышедшие из какой-нибудь
