Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом точки S и S', названные в § 61 апланатичесними, являются апланатическими в смысле Аббе, так как при полном отсутствии сферической аберрации в этих точках выполнено также и условие синусов.
Преобразуем условие Гершеля (111,2), заменяя х его значением ив формулы (82,11), приводим уравнение к симметричному виду и извлекаем корень из обеих частей уравнения; в результате имеем:
7i'[ism-i-u'==fc п Jin-j ц.
Это равенство и закон синусов Аббе (111,6), очевидно, несовместимы для конечных значений углов н и и'. Оба уравнения могут быть удовлетворены одновременно только в трех частных случаях, а именно:
а) в случае телескопической системы, когда и = а' = 0; б) в узловых точках оптической системы с конечным фокусным расстоянием, когда *f = u'j и в) в точках, для которых и——и', т. е. угловое увеличение у = — 1 и поперечное увеличение Р = •
Из этого вытекает невозможность существования двух пар последовательных, бесконечно близких апланатических точек, так как, если для одной пары сопряженных точек на оси выполнено условие синусов и изображение точки получается без погрешностей при помощи сколь угодно широких пучков лучей, то условие Гершеля для этой пары точек
§ 112. Свойства апланатических изображений и приложения закона синусов 371
нз выполняется, и потому изображение соседней, бесконечно близкой точки на оси не может быть свободно от погрешностей, т. е. соседняя пара не апланатическая.
в) Обобщение теоремы Лагранжа — Гельмгольца для меридионального пучка. Положим, что оптическая система дает совершенное изображение dl' элемента длины dl, расположенного в меридиональной плоскости. Из какой-нибудь точки элемента dl проводим элементарный меридиональный пучок, крайние лучи которого образуют с элементом dl углы я. и а -+- dy.. Все лучи этого меридионального пучка перепекаются в сопряженной точке элемента dl'; крайние лучи пучка в пространстве изображений образуют с элементом dl' углы я' й j' + dx'.
Согласно закону косинусов (108,1) имеем:
п'dl'cos (а' -+- da.') — ndl cos (а -+- dy) — n'dl'cos а' — ndl cos a. ^ Следовательно:
n'dl'sin y.' dx' — ndl sin y.dx. (Ill, 7)
Это уравнение можно считать обобщением уравнения Лагранжа — Гельмгольца (63,1): dl'sin х' и dl sin а суть проекции сопряженных отрезков dl' и dl на перпендикуляры к осям элементарных меридиональных пучков и имеют то же значение, что и сопряженные отрезки / и I' в уравнении (63,1); dx' и dx — углы, образуемые произвольными сопряженными лучами и осями пучков.
Подобно инварианту Лагранжа — Гельмгольца произведение ndlsmxdx. остается инвариантным не' только при одном преломлении, но сохраняет свое значение при всех преломлениях, так как для двух последовательных преломлений через поверхности с номерами к и ?-1-1 имеем:
Пк пк+\> у-к — Ук-И’ dlk dlk | 1.
Итак, можно’написать:
n'dlk' sin хк' dxk — пк с/4 sin у.к dx.k~.-~nldll sincq dy.j. (Ill, 8)
§ 112. Некоторые свойства лучей, дающих апланатические изображения и приложения закона синусов
а) На рис. 195 S и S' пара апланатических точек на оси оптической системы; элементарные отрезки PS(=dl) и P'S'(—dl') перпендикулярны оптической оси; их расстояние от главных плоскостей Н и Н' системы обозначаем а и а!. Отрезок dl' — совершенное изображение отрезка dl, получаемое посредством сколь угодно широких пучков лучей; следовательно, выполнено условие синусов для всех значений углов и и и , образуемых с осью сопряженными лучами, т. е.
п'“ sin а' = п sin и. (112,1)
Из треугольников PSH и P'S'H' находим:
dV
dl
(112,2)
где и и, и ии суть углы PHS и P’H'S'.
24*
372 Глава X. Изображения, даваемые оптическими, системами, и их погрешности
Отношение и’И,: иц есть угловое увеличение в главных точках, да* которых поперечное увеличение равно единице; согласно формуле (82,4)
иИ> :аЯ = П '• П ’
следовательно, вместо уравнения (112,2) имеем:
п'Ьа = па' (112,3)
Сопоставляя уравнения (112,1) и (112,3), находим:
a'sinu' — asinu. (112,4)
Из точек S в S' как из центров строим две сферы с радиусами а
и о', касательные к главным плоскостям в главных точках Н и Н'\
сечения этих сфер меридиональной плоскостью, проходящей через элементы di и dl', суть дуги окружностей HQrQ2 и H'Q,'Q2'. Проводим
Рис. 195.
через апланатические точки S и S две пары сопряженных лучей .SQ, и Qi'S', SQi и O'/S', для коюрых углы ииы' имеют значения U! и и/, и, и и./, и из точек Q„ Q/, Q2, Q./ пересечения этих лучей с обеими сферами опускаем на оптическую ось перпендикуляры: Qx А,, Q/Д',
Q^2> Q‘2 ^2 •
Из треугольников: и Q/А/S', QsA2S и Q./A^S' и уравне-
ния (112,4) находим:
Q-i Ай = Q/А/ —Л.2.
Итак, каждая пара сопряженных лучей, проходящих через апланатические точки на оси системы, пересекает сферы, касательные к главным плоскостям системы и имеющие центры в апланатических точках, в точках, расстояния которых до оптической оси равны между собою. Таким образом для лучей, образующих конечные углы с осью и дающих совершенные изображения точек на оси, обе сферы для реальной системы имеют такое же значение для построения хода лучей, как главные плоскости для идеальной системы.
