Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим, что луч 02Л2, проходящий через точку О,, не проходит через точку О./ в последней среде, а проходит ^близи ее по направлению О/АЛ Опусти vi из точки О/ перпендикуляр О/О/ на прямую О/Л/;
расстояние О/О/ назовем с?/'. Через точку О/ проведем луч О/Л/, параллельный 02 А', и в первой среде построим луч О] Л,, сопряженный с О/Л/. Отложив на линии О/Л/ отрезок O/Q, равный единице, проводим перпендикуляр PQ к линии О/Л/, параллельный перпендикуляру О/Л/, и через какую-нибудь точку /*, бесконечно близкую к точке Q, проводим луч 0/5/; в первой среде с ним сопряжен луч ОгВ}. Углы, образуемые лучами ОуА^ и OjB, в первой среде с отрезком dl, называем буквами и s2; соответственные углы тех же лучей с отрезком dl' в последней среде обозначаем 5/ и г/, и с отрезком dl'—г/ и е/-Так как точка О/ есть изображение точки Oj, то оптическая длина луча (О, ... О/) равна оптической длине (Oj Av ... О/) и, следова-
тельно, согласно формуле (107,2) имеем:
n'dl' cos б/ — ndl cos е, = n'dl' cos в/ — hdl Cos e2.
С другой стороны из условия (108,2) следует:
n'di'cos*,'—ndl cos = n'dl' cos ?/— ndl cose2.
Вычитая соответственные части этих уравнений, находим:
eW'cose/ — dl' со- ?,' = <#' cos г/ — df cos в/. 108,3)
$ 108. Закон косинусов 361
Переходя к декартовым координатам, выбираем координатные оси в последней среде таким образом, чтобы плоскость 01FZ' проходила через отрезки dl! и dl', т. е. через точки О/, О/ и О/. Координаты этих точек в такой системе можно обозначить таким образом:
точки О/— 0,y',z'; точки О/ — 0, у' -+- dy', z dz
точки О/— 0, у' -+- dy г z! -i- dz'.
Назовем косинусы углов, образуемых параллельными лучами А/ и А/ с координатными осями, буквами V, jjl' и v'; соответственные косинусы для луча В/: У ¦-4-8У, v' - bSv'. Пользуясь всеми этими обозначе-
ниями, переписываем уравнение (108,3) следующим образом:
и/ dy' -+- v' dz' — ft' dy' — v' dz'—(\i.' -+- dy' -t-(v' -ь ^v') dz' — (и/ -ь <5u/) dy' — (v' fw') dz'.
После сокращений находим:
(dy/ — dy') ¦+• <>v' (dz' — dz') — 0. (108,4)
Разности в скобках суть проекции на оси у'-ов и z'-ов отрезка перпендикуляра О/О/; &[л' и —проекции на те же оси изменения
единичного вектора О/А/ при переходе от луча О/А/ к лучу О/В/. При вышеуказанном выборе лучей А/ и В/ и &v' имеют те же знаки, что и разности в скобках, и произвольные, не равные нулю, значения; следовательно, левая часть может быть равна нулю только в том случае,
когда ___
dy' — dy' и dz' — dz',
т. е. точки О/ и О./ должны совпадать; луч А/ проходит через точку О/. Так как закон косинусов (108,1) есть приближенная формула, полученная при условии пренебрежения величинами высших порядков по сравнению с величинами dl и dl', то и обратная теорема верна при условии пренебрежения высшими членами того же порядка.
в) Назовем отношение ^ линейным увеличением в направлении dl
и обозначим его буквой р; уравнение (108,1) перепишем следующим образом:
n'^cose' — ncost—~~C; (108,5)
в правой части имеем изменение разности оптической длины при переходе от данной точки к соседней в направлении dl; это изменение рассчитано на единицу длины. Увеличение [i в общем случае может быть различным для различных направлений.
Формулы (108,1) или (108,5) выражают необходимое и достаточное условие для того, чтобы бесконечно малый отрезок dl в пространстве предметов имгл в пространстве изображений совершенное изображение dl', даваемое пучками гомоцентрических лучей с конечными телесными углами. Это условиэ называется законом косинусор.
362 Глава X. Изображения, даваемые оптическими системами, и их погрешности
§ 109. Совершенное изображение бесконечно малой площади
Положим, что закон косинусов (108,1) удовлетворяется для двух направлений вблизи точки, изображаемой данной системой без погрешностей. Докажем, что это предположение является необходимым и достаточным условием для того, чтобы бесконечно малый элемент площади вблизи этой точки в плоскости, проходящей через эти направления, изображался этой системой точно, без погрешностей или точнее с погрешностями высших порядков малости по сравнению с линейными размерами площадки.
Выбираем оси в обоих пространствах таким образом, чтобы обе площадки находились в плоскостях OYZ и O'Y'Z'; проекции отрезков <//, и dl2 на оси у-оз и 2-ов равны dyt и dzlt dy2 и dz2; косинусы углов
луча с осями: \ и v, Соответственные величины в пространстве
изображений обозначаем теми же буквами со значками. Согласно формуле (108,1) находим:
п' (и/ dy/ -+- v' dzx) — n (ftdy -+- vt/z,) = dCx; \
n' (ja' dy./ v' dzJ) — n {}-dyv -+- vt/r2) = dC2. J
Умножим первое уравнение на а, второе на Ь и сложим:
п' (ady/ bdy<J) р/ у- n (adz/ bdz,!) v' —
— n (ady1 -+- bdy2) jJ- — n (adz, -+- bdz^ v — adCl ¦+¦ bdC2.
Суммы, стоящие в скобках, являются проекциями на оси уов и z-ob, у'-ов и г'-ов некоторых векторов dl3 и а/3', получающихся от сложения векторов adlx и bdl2, adl/ и bdl2. Очевидно, что, выбирая надлежащим образом числа а и Ь, мы можем получить заранее заданный отрезок dl3, расположенный под заданным углом по отношению к отрезкам dlY и dig зная числа а и Ь, находим величину и направление отрезка dl3 по его проекциям. Правая часть уравнения окажется известной постоянной, которую мы назовем dC3, т. е.
